\(n^4+2n^3+2n^2+2n+1=\left(n^4+2n^3+n^2\right)+\left(n^2+2n+1\right)=\left(n^2+1\right)\left(n+1\right)^2\)

Voi n=0 

=>n⁴+2n³+2n²+2n+1=1=1²

Em xin mạn phép sửa đề: Chứng minh với mọi số nguyên n thì A (là cái biểu thức bên trên) luôn không âm.

Ta có: \(A=n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2=\left(n+1\right)^2\left(n^2+1\right)\ge0\)

Suy ra đpcm.

6^(2n) +19^n-2^n+1 = 36^n + 19^n - 2^n +1 
với n = 1 thì 36^n + 19^n - 2^n +1 ko chia hết cho 17 
36 chia 17 dư 2 => 36^n chia 17 dư 2^n 
19 chia 17 dư 2 => 19^n chia 17 dư 2^n 
=> 36^n + 19^n - 2^n +1 chia 17 dư 2^n +1 
vậy 36^n + 19^n - 2^n +1 chưa chắc đã chia hết cho 17 với mọi n 
xem lại đề đi bạn 
c) 16^n-15n-1 chia hết cho 225 
n = 1 và n = 2 thì 16^n-15n-1 chia hết cho 225 
giả sử điều trên đúng với n = k 
ta cần chứng minh điều đó đúng với n = k+1 
tức là với n = k+1 thì 16^(k+1)-15(k+1)-1 chia hết cho 225 
thật vậy: 
16^(k+1)-15(k+1) -1 = 16.16^k -16.15k - 16 + 15.15k = 16(16^k - 15k -1) + 225.k 
ta có: 16^k-15k-1 chia hết cho 225 mà 225k chia hết cho 225 
=>16^(k+1)-15(k+1)-1 chia hết cho 225 
đpcm

LYOKO
THE MOST

\(a,25^{n+1}-25^n=25^n\left(25-1\right)=25^{n-1}\cdot25\cdot24=25^{n-1}\cdot100\cdot6⋮100,\forall n\)

\(b,n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)⋮6,\forall n\)(vì là 3 số nguyên liên tiếp)

a) \(25^{n+1}-25^n=25^n\left(25-1\right)=25^n.24=25^{n-1}.6.4.25=25^{n-1}.6.100⋮100\forall n\in N\)

b) \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)=n^3-3n^2+2n=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\)

là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3

\(\Rightarrow n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)⋮2.3=6\forall n\in Z\)

Từ đề bài ta có A= 3ⁿ⁺¹ (3² + 1) + 2ⁿ⁺¹ (2 +1) = 3ⁿ .3.2.5 + 2ⁿ .2.3

=> ĐPCM;

A = 3 n + 3 + 3 n + 1 + 2 n + 2 + 2 n + 1 = 3 n . 27 + 3 + 2 n + 1 . 4 + 2 = 3 n .30 + 2 n .6 = 6. 3 n .5 + 2 n ⋮ 6