cái jz nè .-. 

cái này mà là toán lớp 6 á ;-;

Âu Mai Gớt :)) Bài này là cả giờ sinh hoạt của t.

Đặt: \(L=1.2.3+2.3.4+100.101.102\)

\(4L=1.2.3.4+2.3.4.\left(5-1\right)+...+100.101.102.\left(103-99\right)\)

\(4L=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+...+100.101.102.103-99.100.101.102\)

\(4L=100.101.102.103\Leftrightarrow L=\dfrac{100.101.102.103}{4}\)(1)

Mặt khác( Kiểu người 2 mặt ý) :

\(L=\left(2-1\right).2.\left(2+1\right)+\left(3-1\right).3.\left(3+1\right)+...+\left(101-1\right).101.\left(101+1\right)\)

\(L=2\left(2^2-1\right)+3\left(3^2-1\right)+...+101\left(101^2-1\right)\)

\(L=2^3-2+3^3-3+...+101^3-101\)

\(L=\left(1^3+2^3+3^3+...+100^3\right)-\left(1+2+3+...+100\right)+101^3-101\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\left(1^3+2^3+3^3+...+100^3\right)-\left(1+2+3+...+100\right)+101^3-101=\dfrac{100.101.102.103}{4}\)

\(\Rightarrow A-\dfrac{100.101}{2}+101^3-101=25.101.102.103\)

\(\Rightarrow A=25.101.102.103+101-101^3+\dfrac{100.101}{2}\)

\(A=25502500\)

\(\)Mà: \(B=1+2+3+...+100=\dfrac{100.101}{2}=5050\)

\(\Rightarrow\dfrac{A}{B}=5050\Leftrightarrow A⋮B\)

ta có điều phải chứng minh.

P/S: Có thể nhận thấy rằng: \(A=B^2\).Công thức tổng quát:

\(1^3+2^3+...+l^3=\left(1+2+3+...+l\right)^2\)

B= 1+2+3+...+100=\(\dfrac{100\left(100+1\right)}{2}\)

=50 x 101

Ta lại có A =1³+2³+3³+.....+100³

= (1³+100³) + (2³ + 99³) + .....+ (50³ +51³)

vì\(\left\{{}\begin{matrix}\text{1^3+100^3⋮100+1=101}\\\text{2^3+99^3⋮2+99=101}\\............................\\\text{50^3+51^3⋮50+51=101}\end{matrix}\right.\)

=> A \(⋮\)101(1)

mặt khác

A = (1³+99³)+(2³ + 98³) + .....+ (49³ +51³)+(50³ +100³)

vì\(\left\{{}\begin{matrix}1^3+99^3⋮1+99=100⋮50\\...................................\\49^3+51^3⋮49+51=100⋮50\\50^3+100^3⋮100+50=150⋮50\end{matrix}\right.\)

=> A\(⋮\)50(2)

Từ (1) và (2) => A\(⋮\)101 và\(⋮\)50

Mà (101 ,50)=1 => A\(⋮\)101x50=B

KL : A\(⋮\)B

a) Từ giả thiết : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow2ab\text{=}2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2ab-2bc-2ca\text{=}0\)

Ta xét : \(\left(a+b-c\right)^2\text{=}a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)

\(\text{=}a^2+b^2+c^2\)

Do đó : \(A\text{=}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\text{=}\sqrt{\left(a+b-c\right)^2}\)

\(\Rightarrow A\text{=}a+b-c\)

Vì a;b;c là các số hữu tỉ suy ra : đpcm

b) Đặt : \(a\text{=}\dfrac{1}{x-y};b\text{=}\dfrac{1}{y-x};c\text{=}\dfrac{1}{z-x}\)

Do đó : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

Ta có : \(B\text{=}\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\)

Từ đây ta thấy giống phần a nên :

\(B\text{=}a+b-c\)

\(B\text{=}\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{z-x}\)

Suy ra : đpcm.

Mình bổ sung đề phần b cần phải có điều kiện của x;y;z nha bạn.

\(=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}-4\)

\(=\dfrac{1}{5}-4=\dfrac{-19}{5}\)

cho ba số tự nhiên liên tiếp, tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 50. Hỏi ba số đã cho là số nào?

chứng minh:

\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\) luôn chia hết cho 6 với mọi n

\(A=\left(3x-5\right)\left(2x+11\right)-\left(2x+3\right)\left(3x+7\right)\)

\(=6x^2+33x-10x-55-6x^2-14x-9x-21\)

\(=\left(6x^2-6x^2\right)+\left(33x-10x-14x-9x\right)-\left(55+21\right)\)

\(=-76\)

Vậy A không phụ thuộc vào biến x (đpcm)

a, \(=7\sqrt{2}-6\sqrt{2}+\frac{1}{2}.2\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)

b, \(=4\sqrt{a}+4\sqrt{10a}-9\sqrt{10a}=4\sqrt{a}-5\sqrt{10a}\)

c, \(=6+\sqrt{15}-\sqrt{60}=6+\sqrt{15}-2\sqrt{15}=6-\sqrt{15}\)

Rút gọn

a) Ta có: \(\sqrt{98}-\sqrt{72}+\frac{1}{2}\sqrt{8}\)

\(=\sqrt{2}\left(\sqrt{49}-\sqrt{36}+\frac{1}{2}\sqrt{4}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(7-6+\frac{1}{2}\cdot2\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(1+1\right)=2\sqrt{2}\)

b) Ta có: \(\sqrt{16a}+2\sqrt{40a}-3\sqrt{90a}\)

\(=\sqrt{a}\left(\sqrt{16}+2\sqrt{40}-3\sqrt{90}\right)\)

\(=\sqrt{a}\left(4+4\sqrt{10}-9\sqrt{10}\right)\)

\(=\sqrt{a}\left(4-5\sqrt{10}\right)\)

\(=4\sqrt{a}-5\sqrt{10a}\)

c) Ta có: \(\left(2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{3}-\sqrt{60}\)

\(=6+\sqrt{15}-\sqrt{60}\)

\(=6-\sqrt{15}\)

Lời giải:

Ta có:

$a^2=3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}+3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}+2\sqrt{(3+\sqrt{5+2\sqrt{3}})(3-\sqrt{5+2\sqrt{3}})}$

$=6+2\sqrt{3^2-(5+2\sqrt{3})}=6+2\sqrt{4-2\sqrt{3}}=6+2\sqrt{3+1-2\sqrt{3}}$

$=6+2\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=6+2(\sqrt{3}-1)=4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1)^2$

$\Rightarrow a=\sqrt{3}+1$ (do $a\geq 0$)

Do đó:

$a^2-2a-2=4+2\sqrt{3}-2(\sqrt{3}+1)-2=0$ (đpcm)

Bài 4: b) Vì n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.

=> Tồn tại 1 số chia hết cho 2.

Tồn tại 1 số chia hết cho 3.

=> n(n+1)(n+2) chia hết cho cả 2 và 3.

c) Ta có: n(n+1)(2n+1)=n(n+1)[(n+2)+(n-1)]

                                 =n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n-1)

Nhận thấy: n(n+1)(n+2) và n(n+1)(n-1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

=>Tồn tại 1 số chia hết cho 2.

Tồn tại 1 số chia hết cho 3.

=> n(n+1)(2n+1) chia hết cho 2 và 3.

bài 3 nah không biết đúng hông nữa 

n=20a20a20a=20a20a.1000+20a=(20a.1000+20a).1000+20a=1001.20a.1000+20a

theo đề bài n chia hết cho 7,mà 1001 chia hết cho 7 nên 20a chia hết cho 7

ta có 20a = 196+(4+a),chia hết cho 7 nên 4 + a chia hết cho 7 .Vậy a = 3

Bài 4: b) Vì n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.

=> Tồn tại 1 số chia hết cho 2.

Tồn tại 1 số chia hết cho 3.

=> n(n+1)(n+2) chia hết cho cả 2 và 3.

c) Ta có: n(n+1)(2n+1)=n(n+1)[(n+2)+(n-1)]

                                 =n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n-1)

Nhận thấy: n(n+1)(n+2) và n(n+1)(n-1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

=>Tồn tại 1 số chia hết cho 2.

Tồn tại 1 số chia hết cho 3.

=> n(n+1)(2n+1) chia hết cho 2 và 3.