1.

Gọi M là trung điểm BC thì theo tính chất trọng tâm: \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\Rightarrow x+y=\dfrac{2}{3}\)

2.

\(CH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\)

\(T=\left|\text{ }\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\right|\)

\(\Rightarrow T^2=CA^2+CH^2+2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CH}=a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+2.a.\dfrac{a}{2}.cos60^0=\dfrac{7a^2}{4}\)

\(\Rightarrow T=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)

3.

\(10< x< 100\Rightarrow10< 3k< 100\)

\(\Rightarrow\dfrac{10}{3}< k< \dfrac{100}{3}\Rightarrow4\le k\le33\)

\(\Rightarrow\sum x=3\left(4+5+...+33\right)=1665\)

E cần gấp achij nào giúp e cho mai e nộp

a) \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=\dfrac{-1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

b) CG.CAN??

a: \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right|=2\cdot CM=5\sqrt{3}\)

b: \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=5\sqrt{3}\)

bai kho nhu con cho

Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!

Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!

- Gọi G là trọng tâm \(\Delta ABC\), trung tuyến BE cắt A'C tại E'.

- Gọi trung điểm B'C' là D'. BE và D'C là đường trung bình của \(\Delta CAB'\)và \(\Delta C'AB'\)

=> BE // D'C và BE = D'C 

Trung tuyến AD là đường trung bình của \(\Delta BCA'\Rightarrow GE'=BG=\frac{2}{3}\cdot BE=\frac{2}{3}\cdot D'C\) 

Gọi G' là giao của A'D' và BE' ta có:

Áp dụng định lí Talet:

\(\frac{G'E'}{D'C}=\frac{A'E'}{A'C}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}\) (AD // A'C do là đường trung bình của \(\Delta BA'C\)) 

\(\Rightarrow G'E'=\frac{2}{3}\cdot D'C\)

=> G'E' = GE'.

Do G và G' cùng nằm trên BE' và G, G' nằm cùng phía so với E' nên G và G' trùng nhau. 

Như vậy trung tuyến A'D' đi qua G, tương tự trung tuyến B'M' cũng đi qua G

=> G là trọng tâm của \(\Delta A'B'C'\)

"Nếu G là trọng tâm \(\Delta ABC\) thì vtGA + vtGB + vtGC = vt0"

Gọi giao của AG và BC là D. Trên AD kéo dài lấy E sao cho

DE = DG => GE = GA => vtGE = - vtGA.

Do GE và BC cắt nhau tại trung điểm D của chúng nên BGCE là hình bình hành

=> vtGB + vtGC = vtGE = -vtGA => vtGA + vtGB + vtGC = vt0

Gọi G là trọng tâm ABC, G' là trọng tâm \(\Delta A'B'C'\)

=> vtGA + vtGB + vtGC = vt0, vtG'A' + vtG'B' + vtG'C' = vt0

=> vt0 = (vtG'G + vtGA + vtAA') + (vtG'G + vtGB + vtBB') + (vtG'G + vtGC + vtCC')  

           =3vtG'G + (vtGA + vtGB + vtGC) + (vtBA + vtCB + vtAC)  
           =3vtG'G + vt0 + (vtBA + vtAC + vtCB) = 3vtG'G + vt0

=> vtG'G = vt0 

=> G' trùng với G

a) Ta có: HA = 2RcosA HB = 2RcosB HC = 2RcosC AB = 2RsinC AC = 2RsinB Vậy ta cần chứng minh: 2RcosA + 2RcosB + 2RcosC < 2RsinC + 2RsinB Chia cả 2 vế cho 2R, ta có: cosA + cosB + cosC < sinC + sinB Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: sinC + sinB > sin(A + B) = sinCOSA + cosCSINA = cosA + cosB Vậy ta có: cosA + cosB + cosC < sinC + sinB Do đó, ta có HA + HB + HC < AB + AC. b) Ta có: AB + BC + CA = 2R(sinA + sinB + sinC) = 2R(sinA + sinB + sin(A + B)) = 2R(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) = 4Rsin(A + B/2)cos(A - B/2) + 2Rsin(A + B) Vậy ta cần chứng minh: 2RcosA + 2RcosB + 2RcosC < 2332​ (4Rsin(A + B/2)cos(A - B/2) + 2Rsin(A + B)) Chia cả 2 vế cho 2R, ta có: cosA + cosB + cosC < 1166​(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: sin(A + B) > sinC = sin(A + B/2 + B/2) = sin(A + B/2)cos(B/2) + cos(A + B/2)sin(B/2) Vậy ta có: 2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B) < 2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B/2)cos(B/2) + cos(A + B/2)sin(B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2)) + cos(A + B/2)sin(B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2)) + sin(B/2)cos(A + B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2) + cos(A + B/2)) Vậy ta có: cosA + cosB + cosC < 1166​(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) < 1166​(sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2) + cos(A + B/2))) Do đó, ta có HA + HB + HC < 2332​(AB + BC + CA).