\(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FC}\Rightarrow\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{EI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{IF}=\frac{3}{4}\left(\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{EF}\right)\Rightarrow\overrightarrow{EI}=\frac{3}{7}\overrightarrow{EF}\)

\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{AE}+\frac{3}{7}\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AE}+\frac{3}{7}\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}\right)=\frac{4}{7}\overrightarrow{AE}+\frac{3}{7}\overrightarrow{EF}\)

\(\overrightarrow{AI}=\frac{4}{7}.\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{7}.\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AC}=\frac{4}{7}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{4}{7}\overrightarrow{AM}\)

\(\Rightarrow A;M;I\) thẳng hàng

đợi mình 5 phút

                                                                                  Giải

a) vì m la trung diểm của BC => BM=MC

Xét tam giac BAM va tam giac MAC có:

AB=AC(dề bài cho)

BM=MC(Chung minh tren)

AM la cạnh chung(de bai cho)

=>Tam giác BAM=tam giac MAC(c.c.c)

b)từ trên

=>góc BAM=góc MAC(hai goc tuong ung)

Tia AM nam giua goc BAC (1)

goc BAM=goc MAC(2)

từ (1) va (2)

=>AM la tia phan giac cua goc BAC

c)Còn nữa ......-->

B)vi goc BAM =90 độ

            MAC=90 độ

=>AM vuông góc voi BC

Bài làm

a) Xét tam giác AMN có:

AM = AN 

=> Tam giác AMN cân tại A.

b) Xét tam giác ABC cân tại A có:

\(\widehat{B}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)                                            ^₍₁₎ 

Xét tam giác AMN cân tại A có:

\(\widehat{M}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)                                         ^₍₂₎ 

Từ ^₍₁₎ và ^₍₂₎ => \(\widehat{B}=\widehat{M}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

=> MN // BC

c) Xét tam giác ABN và tam giác ACM có:

AN = AM ( gt )

\(\widehat{A}\) chung

AB = AC ( Vì tam giác ABC cân )

=> Tam giác ABN = tam giác ACM ( c.g.c )

=> \(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)( hai cạnh tương ứng )

Ta có: \(\widehat{ABN}+\widehat{MBC}=\widehat{ABC}\)

          \(\widehat{ACM}+\widehat{MCB}=\widehat{ACB}\)

Mà \(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)( cmt )

      \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( hai góc kề đáy của tam giác cân )

=> \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=> Tam giác BIC cân tại I

Vì MN // BC

=> \(\widehat{MNI}=\widehat{IBC}\)( so le trong )

     \(\widehat{NMI}=\widehat{ICB}\)( so le trong )

Và \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)( cmt )

=> \(\widehat{MNI}=\widehat{NMI}\)

=> Tam giác MIN cân tại I

d) Xét tam giác cân AMN có:

E là trung điểm của MN

=> AE là trung tuyến  

=> AE là đường trung trực.

=> \(\widehat{AEN}=90^0\)                    ^₍₁₎ 

Xét tam giác cân MNI có:

E là trung điểm MN

=> IE là đường trung tuyến

=> IE là trung trực.                            

=> \(\widehat{IEN}=90^0\)        ^₍₂₎ 

Cộng ^₍₁₎ và ^₍₂₎ ta được:\(\widehat{IEN}+\widehat{AEN}=90^0+90^0=180^0\) => A,E,I thẳng hàng.                      ^₍₃₎ 

Xét tam giác cân BIC có:

F là trung điểm BC

=> IF là trung tuyến

=> IF là trung trực.

=> \(\widehat{IFC}=90^0\)                

Và MN // BC

Mà \(\widehat{IFC}=90^0\)

=> \(\widehat{IEN}=90^0\)

=> E,I,F thẳng hàng.             ^₍₄₎ 

Từ ^₍₃₎ và ^₍₄₎ => A,E,I,F thẳng hàng. ( đpcm )

# Học tốt #

mình biết làm câu hỏi này ai k cho mình mình k lại cho

a, Vì E,F là trung điểm AC,BC nên EF là đtb tg ABC

Do đó EF//AB hay EF//AD và \(EF=\dfrac{1}{2}AB=AD\)(D là trung điểm AB)

Do đó AEFD là hbh

Vì AF là trung tuyến tam giác ABC cân tại A nên AF cũng là đường cao

Do đó AF⊥BC(1)

Lại có D,E là trung đỉm AB,AC nên DE là đtb tg ABC

Do đó DE//BC(2)

(1)(2) ta được DE⊥AF

Vậy AEFD là hthoi

b, Vì AEFD là hthoi mà I là trung điểm AF nên I là trung điểm DE

Vậy D,I,E thẳng hàng

a: Xét ΔCAB có

M là trung điểm của CB

ME//BA

Do đó: E là trung điểm của AC

b: Xét tứ giác AFME có

AF//ME

AE//MF

Do đó: AFME là hình bình hành

=>AM cắt FE tại trung điểm của mỗi đường

=>E,O,F thẳng hàng