Ta có: ( a – b) ² \(\ge\) 0 => a² + b² \(\ge\) 2ab

( b – c)² \(\ge\) 0 => b² + c² \(\ge\) 2bc

( a – c)² \(\ge\) 0 => a² + c² \(\ge\) 2ac

=> 2(a² + b² + c²) \(\ge\) 2ab + 2bc + 2ac

=> a² + b² + c² \(\ge\) ab + bc + ac (đpcm )

ta có : (a-b)²\(\ge0với\forall a,b\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(1)

Cm tương tự ta được lần lượt : a²+c²\(\ge2ac\) với \(\forall a,c\)(2)

b²+c²\(\ge2bc\) với \(\forall b,c\)(3)

Cộng vế vế (1), (2)và (3):

a²+b²+c²+a²+b²+c²\(\ge2ab+2ac+2bc\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\left(đpcm\right)\)

nhớ tick cho mk nhé

Ta có: 

\(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)

\(\ge a^4b^2c^2+b^4c^2a^2+c^4a^2b^2=a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\)

Cái bất đẳng thức áp dụng trong bài là:

\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

  ĐẶt 2^a = x; 2^b=y; 2^c=z;=> x;y;z>0 

dpcm<=> x^3+y^3+z^3 ≥x+y+z và xyz = 2^a.2^b.2^c =2^(a+b+c)=1 

Ta có: x^3+y^3 = (x+y)(x²+y²-xy).Vì x²+y² ≥ 2xy => x^3+y^3 ≥xy(x+y) 

Tương tự ta có: y^3+z^3≥ yz(y+z) 

z^3+ x^3≥ xz(x+z) 

Cộng vế với vế ta có: 

2(x^3+y^3+z^3) ≥ x²y+ xy² + y²z+yz²+x²z+xz² 

Cộng 2 vế với x^3+y^3 +z^3 ta có: 

3(x^3+y^3+z^3) ≥ x²(x+y+z) + y²(x+y+z) + z²(x+y+z) = (x+y+z)(x²+y²+z²) (*) 

Theo cô si ta có: 

x²+y²+z² ≥3.(x².y².z²)^1/3 = 3 (vì xyz=1) 

=> 3(x^3+y^3+z^3) ≥ 3(x+y+z) 

=> x^3+y^3+z^3 ≥ x+y+z 

=> dpcm 

Ta thấy A gồm có 99 số hạng nên ta nhóm mỗi nhóm 3 số hạng.

Ta có: A = 1 + 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ +...+ 5⁹⁷ + 5⁹⁸ + 5⁹⁹

             = (1 + 5 + 5² )+ (5³ + 5⁴ + 5⁵ )+...+( 5⁹⁷ + 5⁹⁸ + 5⁹⁹ )

             =(1 + 5 + 5² )+ 5³(1 + 5 + 5² ) +...+ 5⁹⁷(1 + 5 + 5² )

             = ( 1 + 5 + 5²)(1 + 5³+....+5⁹⁷)

             = 31(1 + 5³+....+5⁹⁷)

Vì có một thừa số là 31 nên A chia hết cho 31.

 P/s Đừng để ý câu trả lời của mình

Ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(c^2+a^2\ge2ca\)

Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta có:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(=>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)

CHÚC BẠN HỌC TỐT........

ta có : \(\left(a-b-c\right)^2\ge0\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\forall a;b;c\)

vậy \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) với mọi \(a;b;c\) (đpcm)

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)\(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\)\(\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)( luôn đúng với mọi a , b , c )

Vậy Phương trình  \(\left(1\right)\)luôn đúng , hay : 

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)\(\left(đpcm\right)\)

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)( luôn đúng ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c\)

Coi như a, b, c là số dương

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ba}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{bc}.\dfrac{c}{ba}}=2\sqrt{\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{2}{b}\left(1\right)\)

Dấu "=" xảy ra ...

\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{bc}.\dfrac{b}{ac}}=2\sqrt{\dfrac{1}{c^2}}=\dfrac{2}{c}\left(2\right)\)

Dấu "=" xảy ra ...

\(\dfrac{c}{ba}+\dfrac{b}{ac}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{ba}+\dfrac{b}{ac}}=2\sqrt{\dfrac{1}{a^2}}=\dfrac{2}{a}\left(3\right)\)

Dấu "=" xảy ra ...

Từ (1), (2), (3) ta có:

\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ba}+\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ba}+\dfrac{b}{ac}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\\ \Rightarrow2\left(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ba}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\ \Rightarrow\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ba}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

Dấu "=" xảy ra ...

Vậy ...

a, b, c có phải là số dương không bạn, nếu không thì làm sao dùng BĐT Cô-si được

Ta có :\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)

=> đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Áp dụng BĐT: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

Dấu "=" xảy ra khi: x = y =z

Ta có: \(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^2b^4c^2+b^2c^4a^2+c^2a^4b^2\)

\(=a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\)

Vậy \(a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\) 

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

bạn ơi vì sao \(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)

hihi... mình biết rồi cảm ơn nha!!!