Chứng Minh rằng:\(x^4+y^4+\left(x+y\right)^4=2\left(x^2+xy+y^2\right)^2\)
giúp mik vs, mik cần gấp lắm
Giải hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)=\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\\16x^5-20x^3+5\sqrt{xy}=\sqrt{\dfrac{y+1}{2}}\end{matrix}\right.\)
Mình đang cần gấp lắm, các bạn giúp mình với. Cảm ơn!
\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)=\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\left(1\right)\\16x^5-20x^3+5\sqrt{xy}=\sqrt{\dfrac{y+1}{2}}\left(2\right)\end{matrix}\right.\).
ĐKXĐ: \(xy>0;y\ge-\dfrac{1}{2}\).
Nhận thấy nếu x < 0 thì y < 0. Suy ra VT của (1) âm, còn VP của (1) dương (vô lí)
Do đó x > 0 nên y > 0.
Với a, b > 0 ta có bất đẳng thức \(\left(a+b\right)^4\le8\left(a^4+b^4\right)\).
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
\(\left(a+b\right)^4\le\left[2\left(a^2+b^2\right)\right]^2=4\left(a^2+b^2\right)^2\le8\left(a^4+b^4\right)\).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
\(\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^4\le8\left[8\left(x^4+y^4\right)+16x^2y^2\right]=64\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\le8\left(x^2+y^2\right)\). (3)
Lại có \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2=4\left(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\right)\). (4)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có \(\dfrac{x^6}{y^4}+xy+xy+xy+xy\ge5x^2;\dfrac{y^6}{x^4}+xy+xy+xy+xy\ge5y^2;3\left(x^2+y^2\right)\ge6xy\).
Cộng vế với vế của các bđt trên lại rồi tút gọn ta được \(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\ge2\left(x^2+y^2\right)\). (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2\ge\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)\ge\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\).
Do đó đẳng thức ở (1) xảy ra nên ta phải có x = y.
Thay x = y vào (2) ta được:
\(16x^5-20x^3+5x=\sqrt{\dfrac{x+1}{2}}\). (ĐK: \(x>0\))
PT này có một nghiệm là x = 1 mà sau đó không biết giải ntn :v
tìm GTNN biết \(\left(x^z+1\right)^2+\left(y^z+2\right)^4-2\)
hộ mik vs mik đg cần gấp
x^2+1>=1
=>(x^2+1)^2>=1
y^2+2>=2
=>(y^2+2)^4>=16
=>(x^2+1)^2+(y^2+2)^4>=17
=>(x^2+1)^2+(y^2+2)^4-2>=15
Dấu = xảy ra khi x=y=0
tìm x,y thuộc z:
\(a,\left(x+3\right)\left(y+2\right)=1\)
\(b,\left(x-1\right)\left(x+y\right)=33\)
\(c,\left(2x-5\right)\left(y-6\right)=17\)
\(d,3x+4y-xy=16\)
GIÚP MIK VS, MIK CẦN GẤP LẮM Ạ
\(a,\left(x+3\right)\left(y+2\right)=1\)
=> x+3 và y+2 thuộc UC(1)={1; -1}
x+3 | 1 | -1 |
x | -2 | -4 |
y+2 | 1 | -1 |
y | -1 | -3 |
Vậy x=-2; y=-4
x=-1; y=-4
Câu sau tương tự
\(a,\left(x+3\right)\left(y+2\right)=1\)
Th1 : \(\hept{\begin{cases}x+3=1\\y+2=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-1\end{cases}}}\)
Th2 : \(\hept{\begin{cases}x+3=-1\\y+2=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-4\\y=-3\end{cases}}}\)
KL : \(\left\{\left(x=-2;y=-1\right);\left(x=-4;y=-3\right)\right\}\)
\(d,3x+4y-xy=16\)
\(=3x-xy+4y-12=4\)
\(\Rightarrow-x\left(y-3\right)+4\left(y-3\right)=4\)
\(\Rightarrow\left(y-3\right)\left(4-x\right)=4\)
Chia các trường hợp như câu a của chị ra em nhé
vì \(\left(x+3\right)\left(y+2\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(x+3\right)\text{và}\left(y+2\right)=1\)
\(x+3=1\) \(y+2=1\)
\(x=1-3\) \(y=1-2\)
\(x=-2\) \(y=-1\)
Giải chi tiết giúp mik 2 câu này vs mik đag cần gấp
1. a) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=5\\x^2y+y^2x=6\end{matrix}\right.\)
b) \(9x^4+8x^2-1=0\)
b) Ta có: \(9x^4+8x^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow9x^4+9x^2-x^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow9x^2\left(x^2+1\right)-\left(x^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(9x^2-1\right)=0\)
mà \(x^2+1>0\forall x\)
nên \(9x^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow9x^2=1\)
\(\Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{9}\)
hay \(x\in\left\{\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3}\right\}\)
Vậy: \(S=\left\{\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3}\right\}\)
chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=2\left(x^4+y^4+z^4\right)\)
biết x+y+z=0
giúp mik nha ai nhanh nhất mik tik
1.Tìm x,y thuộc z:
a,\(\left|2-x\right|+2=x\)
b,\(x+7=\left|x-9\right|\)
2.Tìm x,y thuộc z:
a,\(\left|x+10\right|+\left|5-y\right|=0\)
b,\(\left|x-40\right|+\left|x-y+10\right|=0\)
c,\(\left|x+y-30\right|+\left|x-y-4\right|=0\)
d,\(\left|x+y-15\right|+\left|xy-56\right|=0\)
GIÚP MIK VS Ạ, MIK ĐANG CẦN GẤP
a, th1 : 2- x +2=x
<=> X=2
Th2: -2 +x +2= x
<=> X có vô sốnghiệm
B1: a, |2 - x| + 2 = x
=> |2 - x| = x - 2
Dễ thấy (2 - x) và số đối của (x - 2)
=> |2 - x| = x - 2
=> 2 - x ≤ 0
=> x ≥ 2
b, Điều kiện: x + 7 ≥ 0 => x ≥ -7
Ta có: |x - 9| = x + 7
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-9=x+7\\x-9=-x-7\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}0x=16\left(loai\right)\\2x=2\end{cases}\Rightarrow x=1}\left(t/m\right)\)
B2:
a, Vì |x + 10| ≥ 0; |5 - y| ≥ 0
=> |x + 10| + |5 - y| ≥ 0 <=> \(\hept{\begin{cases}x+10=0\\5-y=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-10\\y=5\end{cases}}\)
b, Vì |x - 40| ≥ 0; |x - y + 10| ≥ 0
=> |x - 40| + |x - y + 10| ≥ 0 <=> \(\hept{\begin{cases}x-40=0\\x-y+10=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=40\\40-y=-10\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=40\\y=50\end{cases}}\)
c, Vì |x + y - 30| ≥ 0; |x - y - 4| ≥ 0
=> |x + y - 30| + |x - y - 4| ≥ 0 <=> \(\hept{\begin{cases}x+y-30=0\\x-y-4=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x+y=30\\x-y=4\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\left(30+4\right):2=17\\y=30-17=13\end{cases}}\)
d, Vì |x + y - 15| ≥ 0; |xy - 56| ≥ 0
=> |x + y - 15| + |xy - 56| ≥ 0
=> |x + y - 15| + |xy - 56| = 0
=> \(\hept{\begin{cases}x+y-15=0\\xy-56=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=15-y\\xy-56=0\end{cases}}\)
Thay x = 15 - y vào xy - 56 = 0
=> (15 - y)y - 56 = 0
=> 15y - y2 - 56 = 0
=> y2 - 15y + 56 = 0
=> y2 - 7y - 8y + 56 = 0
=> y(y - 7) - 8(y - 7) = 0
=> (y - 7)(y - 8) = 0
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y-7=0\\y-8=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}y=7\\y=8\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=15-7\\x=15-8\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=8\\x=7\end{cases}}\)
Vậy....
a) \(\left(x^2-2y\right)\left(x^4+2x^2y+4y^2\right)-x^3\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)\(+8y^3\)
b)(x-2)(\(x^2\)+2x+4)-\(\left(x-1\right)^3\)+7
c)x(x+2)(2-x)+(x+3)(\(x^2\)-3x+9) -GIÚP MIK VS, MIK TICK CHO
Trả lời:
a, \(\left(x^2-2y\right)\left(x^4+2x^2y+4y^2\right)-x^3\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+8y^3\)
\(=\left(x^2\right)^3-\left(2y\right)^3-x^3\left(x^3-y^3\right)+8y^3\)
\(=x^6-8y^3-x^6+x^3y^3+8y^3\)
\(=x^3y^3\)
b, \(\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-\left(x-1\right)^3+7\)
\(=x^3-8-\left(x^3-3x^2+3x-1\right)+7\)
\(=x^3-8-x^3+3x^2-3x+1+7\)
\(=3x^2-3x\)
c, \(x\left(x+2\right)\left(2-x\right)+\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)
\(=x\left(4-x^2\right)+x^3+27\)
\(=4x-x^3+x^3+27\)
\(=4x+27\)
Chứng minh hằng đẳng thức sau:
\(x^4+y^4+\left(x+y\right)^4=2\left(x^2+xy+y^2\right)^2\)
Mình đang cần lời giải (chi tiết) và đang gấp, xin giúp mình. Cảm ơn nhiều
\(x^4+y^4+\left(x+y\right)^4=2\left(x^4+y^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3\right)\)
\(=2\left(\left(x^4+y^4+2x^2y^2\right)+\left(2x^3y+2xy^3\right)+x^2y^2\right)\)
\(=2\left(\left(x^2+y^2\right)^2+2xy\left(x^2+y^2\right)+x^2y^2\right)\)
\(=2\left(x^2+y^2+xy\right)^2\)
Đặt x2 + xy + y2 = a2 ; x + y = b.Ta có :
a4 = (a2)2 = (x2 + xy + y2)2 = x4 + y4 + x2y2 + 2x3y + 2xy2 + 2x2y2 = x4 + y4 + x2y2 + 2xy(x2 + y2 + xy) = x4 + y4 + x2y2 + 2xya2 (1)
mà b = x + y
=> b2 = x2 + y2 + 2xy = a2 + xy => b4 = a4 + x2y2 + 2a2xy .Từ (1) và (2) ,ta có :
2a4 = x4 + y4 + a4 + x2y2 + 2xya2 = x4 + y4 + b4.Thay a2 = x2 + xy + y2 ; b = x + y,ta có đpcm
<=>
Chứng minh rằng:
\(x^4+y^4+\left(x+y\right)^4=2\left(x^2+xy+y^2\right)^2\)
mình biết nội quy rồi nên đưng đăng nội quy
ai chơi bang bang 2 kết bạn với mình
mình có nick có 54k vàng đang góp mua pika
ai kết bạn mình cho
Biến đổi VT:
\(x^4+y^4+\left(x+y\right)^4\)
\(=x^4+y^4+x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4\)
\(=2x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+2y^4\)
\(=2\left(x^2+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4\right)\)
\(=2\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(=2\left(x^2+xy+y^2\right)^2=VP\)
\(\Rightarrowđpcm\)