Cho dãy số (un) xác định bởi: \(\left\{{}\begin{matrix}u_0=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_k+\frac{1}{n}u_k^2\end{matrix}\right.\), \(\forall k=\overline{0,n-1}\)
a) cmr \(1-\frac{1}{n}< u_n< 1\)
b) tính \(limu_n\)
Những câu hỏi liên quan
cho dãy số (un) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=\dfrac{1}{3}\\u_{n+1}=\dfrac{n+1}{3n}.u_n,n\ge1\end{matrix}\right.\)tính tổng S=\(\sum_{k=1}^{10}\)\(\dfrac{u_k}{k}\)?
\(\Leftrightarrow\dfrac{u_{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{u_n}{n}\)
Đặt \(\dfrac{u_n}{n}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{3}\\v_{n+1}=\dfrac{1}{3}v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\)
\(S=\sum\limits^{10}_{k=1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^k=\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{3^{10}}\right)}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3^{10}}\right)\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho dãy (Un) xác định bởi: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1>0\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}.\left(2u_n+\dfrac{a}{u_n^2}\right),\forall n\ge1\end{matrix}\right.\)(Với a>0). Tính limUn
Cho dãy số \(\left(U_n\right)\) được xác định bởi: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=\dfrac{1}{2}.\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)\end{matrix}\right.\), \(\forall n\ge1\). Tìm lim Un
cho dãy số (un) được xác định bởi : \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=0;u_2=1\\2u_{n+2}=u_{n+1}+u_n,\left(n\ge1\right)\end{matrix}\right.\)
a) Chứng minh rằng:un+1= -1/2 un+1, \(\forall n\ge1\)
b) đặt vn=un-2/3. Tính vn theo n từ đó tìm lim un
Cho dãy số (Un) xác định bởi:\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=-\dfrac{3}{2}u_n^2+\dfrac{5}{2}u_n+1\end{matrix}\right.\), \(\forall n\ge1\)
1) Hãy tính u2.u3,u4,u5
2) Dự đoán công thức của số hạng tổng quát Un
Cho dãy số (Un) xác định bởi công thức: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2021\\u_{n+1}=\left[1-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\right]u_n+\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2};\forall n\ge1\end{matrix}\right.\). Khi đó limUn bằng?
Ta có: \(u_n>2020\) với mọi \(n\in N\text{*}\) \(\left(\text{*}\right)\)
Thật vậy, dễ thấy \(u_1=2021>2020\)
Giả sử \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k\left(k\ge1\right)\)
\(\Rightarrow u_k>2020\)\(\Rightarrow u_{k+1}=\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right]u_k+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}\)
\(>\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right].2020+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}=2020\)
\(\Rightarrow\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k+1\)
Do đó theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
Lại có:
\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}-\dfrac{u_n}{\left(n+1\right)^2}< 0\) với mọi \(n\in N\text{*}\)
\(\Rightarrow\left(u_n\right)\) là dãy giảm
\(\left(u_n\right)\) là dãy giảm và bị chặn nên \(\left(u_n\right)\) là dãy hội tụ
Đặt \(limu_n=L\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020\le L\le2021\\L=\left[1-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\right].L+\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow L=2020\left(tm\right)\)
Vậy \(limu_n=2020\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Ta có: \(u_n>2020\) với mọi \(n\in N\text{*}\) \(\left(\text{*}\right)\)
Thật vậy, dễ thấy \(u_1=2021>2020\)
Giả sử \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k\left(k\ge1\right)\)
\(\Rightarrow u_k>2020\)\(\Rightarrow u_{k+1}=\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right]u_k+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}\)
\(>\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right].2020+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}=2020\)
\(\Rightarrow\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k+1\)
Do đó theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
Lại có:
\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}-\dfrac{u_n}{\left(n+1\right)^2}< 0\) với mọi \(n\in N\text{*}\)
\(\Rightarrow\left(u_n\right)\) là dãy giảm
\(\left(u_n\right)\) là dãy giảm và bị chặn nên \(\left(u_n\right)\) là dãy hội tụ
Đặt \(limu_n=L\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020\le L\le2021\\L=\left[1-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\right].L+\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow L=2020\left(tm\right)\)
Vậy \(limu_n=2020\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho dãy số (\(u_n\)) xác định bởi: \(\left\{{}\begin{matrix}0< u_n< 1\\u_n\left(1-u_{n+1}\right)>\dfrac{1}{4},\forall n\ge1\end{matrix}\right.\)
Chứng minh dãy số (\(u_n\)) có giới hạn hữu hạn khi \(n\rightarrow\infty\)
\(u_n-u_{n+1}=u_n+\left(1-u_{n+1}\right)-1\ge2\sqrt{u_n\left(1-u_{n+1}\right)}-1>0\)
\(\Rightarrow u_n>u_{n+1}\Rightarrow\) dãy giảm
Dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn.
Gọi giới hạn đó là k
\(\Rightarrow k\left(1-k\right)\ge\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left(2k-1\right)^2\le0\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(\lim\left(u_n\right)=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 3
Bình luận (0)
Cho dãy số (Un) được xác định như sau: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=\sqrt{u_n.\left(u_n+1\right).\left(u_n+2\right).\left(u_n+3\right)+1}\end{matrix}\right.,\forall n\in N\). Đặt \(v_n=\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{u_i+2}\). Tính \(v_{2020}\)
cho dãy số (Un) được xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\n\left(n^2-1\right)u_n=u_1+2u_2+3u_3+...+\left(n-1\right)u_{n-1}\end{matrix}\right.\)
tìm công thức tổng quát để tính Un
Với \(n>1\):
\(n\left(n^2-1\right)u_n=u_1+2u_2+...+\left(n-1\right)u_{n-1}\) (1)
\(\Leftrightarrow n^3-n.u_n=u_1+2u_2+...+\left(n-1\right)u_{n-1}\)
\(\Leftrightarrow n^3.u_n=u_1+2u_2+...+\left(n-1\right)u_{n-1}+n.u_n\) (2)
Thay n bởi \(n-1\) vào (2):
\(\Rightarrow\left(n-1\right)^3u_{n-1}=u_1+2u_2+...+\left(n-1\right)u_{n-1}\) (3)
Từ (1) và (3):
\(\Rightarrow n\left(n^2-1\right)u_n=\left(n-1\right)^2u_{n-1}\)
\(\Leftrightarrow n\left(n+1\right)u_n=\left(n-1\right)^2u_{n-1}\)
\(\Rightarrow u_n=\dfrac{\left(n-1\right)^2}{\left(n+1\right)n}u_{n-1}=\dfrac{\left(n-1\right)^2}{\left(n+1\right)n}.\dfrac{\left(n-2\right)^2}{n\left(n-1\right)}u_{n-2}=...=\dfrac{\left(n-1\right)^2\left(n-2\right)^2....1^2}{\left(n+1\right)n.n\left(n-1\right)...3.2}u_1\)
\(\Rightarrow u_n=\dfrac{\left[\left(n-1\right)!\right]^2}{\dfrac{\left(n+1\right).n^2\left[\left(n-1\right)!\right]^2}{2}}u_1=\dfrac{4}{n^2\left(n+1\right)}\)
Công thức này chỉ đúng với \(n\ge2\)
Đúng 3
Bình luận (0)