Giải phương trình nghiệm nguyên \(2^x+3^y=z^2\)

Nếu y=0 thì \(2^x=\left(z-1\right)\left(z+1\right)\)

           Nếu \(x=0\Rightarrow\left(z-1\right)\left(z+1\right)=1\Rightarrow pt\) vô nghiệm.

           Nếu \(x\ne0\Rightarrow\left(z-1\right)\left(z+1\right)\) chẵn

           Đặt \(z-1=2m\Rightarrow z+1=2m+2\Rightarrow2^x=\left(z-1\right)\left(z+1\right)=4m\left(m+1\right)\)

           Bên trái là lũy thừa cơ số 2,vế phải là tích của 4 cho tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên dễ dàng suy ra m=1 suy ra x=3;z=3

Nếu \(y\ne0\)

           Nếu x lẻ ta có:\(2^x\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow2^x+3^y\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow z^2\equiv2\left(mod3\right)\) ( vô lý )

           Nếu x=0 ta có:\(3^y=\left(z-1\right)\left(z+1\right)\Rightarrow z=2\Rightarrow y=1\)

           Nếu x khác 0 ta có x là số chẵn nên \(2^x\equiv0\left(mod4\right);z^2\equiv0;1\left(mod4\right)\Rightarrow3^y\equiv1\left(mod4\right)\Rightarrow y=2k\)

           Ta có:\(2^x=z^2-\left(3^k\right)^2=\left(z-3^k\right)\left(z+3^k\right)\)

           Khi đó \(\left(z-3^k\right)\left(z+3^k\right)=2^u\cdot2^v\Rightarrow\hept{\begin{cases}z-3^k=2^u\\z+3^k=2v\end{cases}}\Rightarrow2\cdot3^k=2^u\left(2^{u-v}-1\right)\Rightarrow u=1\)

            \(\Rightarrow z-3^k=2\Rightarrow2^{v-1}-3^k=1\)

            \(3^k\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow2^{v-1}\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow v-1=2t\)

             \(pt\Leftrightarrow2^{2t}-3^k=1\Rightarrow3^k=\left(2^t-1\right)\left(2^t+1\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}2^t-1=3^{k_1}\\2^t+1=3^{k_2}\end{cases}}\)

             \(\Rightarrow3^{k_2}-3^{k_1}=2\Rightarrow3^{k_1}+2=3^{k_2}\Rightarrow k_1=0;k_2=1\Rightarrow z=5\Rightarrow x=4;y=2;z=5\)

Vậy bộ ba nghiệm (x,y,z) thỏa mãn là \(\left(3;0;3\right);\left(0;1;2\right);\left(4;2;5\right)\)

P/S:Bài giải phần đầu có sự trợ giúp của anh Nguyễn Nhất Huy ( giải nhất thi HSG Cấp Thành Phố vòng 1;được lên báo Toán học tuổi trẻ số 509  ),thanks a nhìu.Key đây nha ! Nhầm chỗ nào tự sửa nốt.

Đề:Cho m,n là các số nguyên dương với \(n>1\).Đặt \(P=m^2n^2-4m+4n\)

Chứng minh rằng nếu P là số chính phương thì m=n

Giả sử \(m>n>1\)

 Xét \(\left(mn^2-2\right)^2-n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)\)

\(=m^2n^4-4mn^2+4-mn^4+4mn^2-4n^3\)

\(=-4n^3+4< 0\) với  \(\forall n>1\)

\(\Rightarrow\left(mn^2-2\right)^2< n^2\left(m^2n^2-4n+4n\right)\left(1\right)\)

Xét \(n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)-m^2n^4\)

\(=m^2n^4-4mn^2+4n^3-m^2n^4\)

\(=-4mn^2+4n^3\)

\(=-4n^2\left(m-n\right)< 0\) với \(\forall m>n>1\)

\(\Rightarrow n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)< m^2n^4\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(mn^2-2\right)^2< n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)< m^2n^4\)

\(\Rightarrow\left(\frac{mn^2-2}{n}\right)^2< P< \left(mn\right)^2\)

Xét \(\frac{mn^2-2}{n}-\left(mn-1\right)=\frac{n-2}{n}\ge0\)  với \(\forall n\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{mn^2-2}{n}\ge mn-1\)

\(\Rightarrow\left(mn-1\right)^2< P< \left(mn\right)^2\left(VL\right)\)

Kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp thì không tồn tại số chính phương nào.OK?

Giả sử \(m< n\)

\(\Rightarrow P>m^2n^2\left(3\right)\)

Xét \(m^2n^2-4m+4n-\left(mn+2\right)^2\)

\(=m^2n^2-4m+4n-m^2n^2-4mn-4\)

\(=n-m-mn-1=n\left(1-m\right)-m-1< 0\) 

\(\Rightarrow P< \left(mn+2\right)^2\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrow\left(mn\right)^2< P< \left(mn+2\right)^2\)

Để P là số chính phương thì \(P=\left(mn+1\right)^2\)

\(\Rightarrow m^2n^2-4m+4n=m^2n^2+2mn+1\)

\(\Rightarrow-4m+4n-2mn=1\) quá VL

Với  \(m=n\Rightarrow P=m^2n^2=\left(mn\right)^2\left(Lscp\right)\) cực kỳ HL:v

P/S:Ko chắc đâu nha.m thử làm bài 1 cấy.t cụng ra rồi nhưng coi cách m cho nó chắc:v Định dùng cách kẹp khác mà đề cho chặt quá:((

a,

ta có:

(x²+7x+3)²=x⁴+14x³+55x²+42x+9

(8x+4)(x²+5x+2)=8x³+44x²+36x+8

=>x⁴+14x³+55x²+42x+9=8x³+44x²+36x+8

<=>x⁴+6x³+11x²+6x+1=0

xét x=0 ko phải no của pt

xét x khác 0

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+9=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}+3\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2};\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\)

d,

xét n=1=> mệnh đề luôn đúng

giả sử mệnh đề đúng với n=k

ta sẽ cm nó đúng với n=k+1

với n=k+1

=>(n+1)(n+2)..(n+n)=2n(n+1)(n+2)...(2n-1)

=2(k+1)(k+2).....2k chia hết cho 2^k+1

=>(n+1)(n+2)(n+3)...(n+n) chia hết cho 2ⁿ

c,

ta có:

\(\left(1+x\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)=1+x+y+\frac{y}{x}\ge1+y+2\sqrt{y}=\left(\sqrt{y}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(1+x\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{9}{\sqrt{y}}\right)^2\ge\left[\left(\sqrt{y}+1\right)\left(1+\frac{9}{\sqrt{y}}\right)\right]^2\)

\(=\left(\sqrt{y}+\frac{9}{\sqrt{y}}+10\right)^2\ge\left(6+10\right)^2=256\left(Q.E.D\right)\)

dấu = xảy ra khi y=9;x=3

b,

x⁷+xy⁶=y¹⁴+y⁸

<=>(x⁷-y¹⁴)+(xy⁶-y⁸)=0

<=>(x-y²)(x+y²)+y⁶(x-y²)=0

<=>(x-y²)(x+y²+y⁶)=0

xét x=y²

\(\Rightarrow\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=\sqrt{4y^2+5}+\sqrt{y^2-1}\)

\(\Rightarrow\sqrt{4y^2+5}+\sqrt{y^2+8}=6\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{4y^2+5}-3\right)+\left(\sqrt{y^2+8}-3\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{4y^2-4}{\sqrt{4y^2+5}+3}+\frac{y^2-1}{\sqrt{y^2+8}+3}=0\)

\(\Rightarrow\left(y^2-1\right)\left(\frac{4}{\sqrt{4y^2+5}+3}+\frac{1}{\sqrt{y^2+8}+3}\right)=0\)

\(\frac{4}{\sqrt{4y^2+5}+3}+\frac{1}{\sqrt{y^2+8}+3}>0\Rightarrow y^2=1\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(1;-1\right)\)

xét x+y²+y⁶=0

<=>x=-y²-y⁶

lại có:

x⁷+xy⁶=y¹⁴+y⁸

<=>x(x⁶+y⁶)=y¹⁴+y⁸

<=>-(y²+y⁶)(x⁶+y⁶)=y¹⁴+y⁸

mà \(-\left(y^2+y^6\right)\left(x^6+y^6\right)\le0\le y^{14}+y^8\)

<=>y=0=>x=0(ko thỏa mãn)

vậy nghiệm của pt:(x;y)=(1;-1);(1;1)

Các bạn nhận xét xem mình làm đúng chưa nhé! Mình có chút phân vân! Có sai chỗ nào thì chỉ bảo mình nha! Cảm ơn các bạn nhiều nha!

Đề bài: Chứng minh rằng đa thức P(x) có ít nhất 2 nghiệm biết: \(x.P\left(x+2\right)-\left(x-3\right).P\left(x-1\right)=0\)

Bài làm:

Với x = 0, ta có: \(0.P\left(0+2\right)-\left(0-3\right).P\left(0-1\right)=0\Rightarrow0+3.P\left(-1\right)=0\Rightarrow P\left(-1\right)=0\)

Với x = 3, ta có: \(3.P\left(3+2\right)-\left(3-3\right).P\left(3-1\right)=0\Rightarrow3.P\left(5\right)-0.P\left(2\right)=0\Rightarrow3.P\left(5\right)=0\Rightarrow P\left(5\right)=0\)

Vậy: Đa thức P(x) có ít nhất 2 nghiệm là x = -1 và x = 5

Mấy thánh có ai nói em điên em cũng nhận hết nha:

\(\left(x+1\right)\left(x-2\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow x+1< 0\Rightarrow x< -1\)

\(x-2>0\Rightarrow x>2\)

\(2< x< -1\)

\(x\in\left\{\varnothing\right\}\)

\(\Leftrightarrow x+1>0\Rightarrow x>-1\)

\(x-2< 0\Rightarrow x< 2\)

\(-1< x< 2\)

\(x\in\left\{0;1\right\}\)