CMR \(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Những câu hỏi liên quan
1. Cho các số x, y, z thỏa mãn : (x + y)(y + z)(z + x) 4. CMR: left(x^2-y^2right)^3+ left(y^2-z^2right)^3+ left(z^2-x^2right)^3 12 (x - y)(y - z)(z - x)2. Rút gọn: dfrac{left(x-yright)^3+left(y-zright)^3+left(z-xright)^3}{left(x^2-y^2right)^3+left(y^2-z^2right)^3+left(z^2-x^2right)^3} biết (x + y)(y + z)(z + x) 13. Cho a, b, c ≠ 0 thỏa mãn: a + b + c a^2+b^2+c^2 2. CMR: dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c}dfrac{1}{abc}MONG MN GIẢI GIÚP EM Ạ!!! EM ĐANG CẦN GẤP ! CẢM ƠN MN NHIỀU
Đọc tiếp
1. Cho các số x, y, z thỏa mãn : (x + y)(y + z)(z + x) = 4. CMR: \(\left(x^2-y^2\right)^3\)+ \(\left(y^2-z^2\right)^3\)+ \(\left(z^2-x^2\right)^3\)= 12 (x - y)(y - z)(z - x)
2. Rút gọn: \(\dfrac{\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3}{\left(x^2-y^2\right)^3+\left(y^2-z^2\right)^3+\left(z^2-x^2\right)^3}\) biết (x + y)(y + z)(z + x) = 1
3. Cho a, b, c ≠ 0 thỏa mãn: a + b + c = \(a^2+b^2+c^2\) = 2. CMR: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{abc}\)
MONG MN GIẢI GIÚP EM Ạ!!! EM ĐANG CẦN GẤP ! CẢM ƠN MN NHIỀU
Hầy mình không nghĩ lớp 7 đã phải làm những bài biến đổi như thế này. Cái này phù hợp với lớp 8-9 hơn.
1.
Đặt $x^2-y^2=a; y^2-z^2=b; z^2-x^2=c$.
Khi đó: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$
$\text{VT}=a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$
$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)$
$=3(x-y)(x+y)(y-z)(y+z)(z-x)(z+x)$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(x+z)$
$=3.4(x-y)(y-z)(z-x)=12(x-y)(y-z)(z-x)$
Ta có đpcm.
Đúng 2
Bình luận (2)
Bài 2:
Áp dụng kết quả của bài 1:
Mẫu:
$(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1)$
Tử:
Đặt $x-y=a; y-z=b; z-x=c$ thì $a+b+c=0$
$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=a^3+b^3+c^3$
$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra \(\frac{(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}=1\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Bài 3:
\(ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{2^2-2}{2}=1\)
Do đó:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}\)
Ta có đpcm.
Đúng 2
Bình luận (0)
CMR: \(\left(y-z\right)^3.\left(1-x^3\right)+\left(z-x\right)^3.\left(1-y^3\right)+\left(x-y\right)^3.\left(1-z^3\right)=3\left(1-xyz\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)
thực hiện phép tính
a,x^3+left[frac{xleft(2y^3-x^3right)}{x^3+y^3}right]^3-left[frac{yleft(2x^3-y^3right)}{x^3+y^3}right]^3
b,frac{frac{xleft(x+yright)}{x-y}+frac{xleft(x+zright)}{x-z}}{1+frac{left(y-zright)^2}{left(x-yright)left(x-zright)}}+frac{frac{yleft(y+zright)}{y-z}+frac{yleft(y+xright)}{y-x}}{1+frac{left(z-xright)^2}{left(y-zright)left(y-xright)}}+frac{frac{zleft(z+xright)}{z-x}+frac{zleft(z+yright)}{z-y}}{1+frac{left(x-yright)^2}{left(z-xright)left(z-yright)}}
c,left[frac{y+z-2x}{fra...
Đọc tiếp
thực hiện phép tính
a,\(x^3+\left[\frac{x\left(2y^3-x^3\right)}{x^3+y^3}\right]^3-\left[\frac{y\left(2x^3-y^3\right)}{x^3+y^3}\right]^3\)
b,\(\frac{\frac{x\left(x+y\right)}{x-y}+\frac{x\left(x+z\right)}{x-z}}{1+\frac{\left(y-z\right)^2}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}}+\frac{\frac{y\left(y+z\right)}{y-z}+\frac{y\left(y+x\right)}{y-x}}{1+\frac{\left(z-x\right)^2}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}}+\frac{\frac{z\left(z+x\right)}{z-x}+\frac{z\left(z+y\right)}{z-y}}{1+\frac{\left(x-y\right)^2}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}}\)
c,\(\left[\frac{y+z-2x}{\frac{\left(y-z\right)^3}{y^3-z^3}+\frac{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}{y^2+yz+z^2}}+\frac{z+x-2y}{\frac{\left(z-x\right)^3}{z^3-x^3}+\frac{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}{z^2+xz+x^2}}+\frac{x+y-2z}{\frac{\left(x-y\right)^3}{x^3-y^3}+\frac{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}{x^2+xy+y^2}}\right]:\frac{1}{x+y+z}\)
CMR: với mọi số thực x, y, z thì: \(\left(x^2+y^2\right)^3-\left(y^2+z^2\right)^3+\left(z^2-x^2\right)^3=3.\left(x^2+y^2\right).\left(y^2+z^2\right).\left(x^2-z^2\right)\)
10 tháng 10 2021 lúc 16:28
Cho 3 số thực x,y,z đôi một phân biệt sao cho
\(\left(y-z\right)\sqrt[3]{1-x^3}+\left(z-x\right)\sqrt[3]{1-y^3}+\left(x-y\right)\sqrt[3]{1-z^3}=0\)
CMR: \(\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)=\left(1-xyz\right)^3\)
CMR \(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-x^3-y^3-z^3\)
\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)(đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Có :
\(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=\left[\left(x+y\right)^3+z^3+3z.\left(x+y\right).\left(x+y+z\right)\right]-x^3-y^3-z^3\)
\(=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3+3z.\left(x+y\right).\left(x+y+z\right)-x^3-y^3-z^3\)
\(=3xy.\left(x+y\right)+3z.\left(x+y+z\right).\left(x+y\right)=3.\left(x+y\right).\left(xy+zx+z^2+zy\right)\)
\(=3.\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Bài làm :
Ta có :
\(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=\left[\left(x+y\right)^3+z^3+3z.\left(x+y\right).\left(x+y+z\right)\right]-x^3-y^3-z^3\)
\(=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3+3z.\left(x+y\right).\left(x+y+z\right)-x^3-y^3-z^3\)
\(=3xy.\left(x+y\right)+3z.\left(x+y+z\right).\left(x+y\right)=3.\left(x+y\right).\left(xy+zx+z^2+zy\right)\)
\(=3.\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
=> Điều phải chứng minh
cmr:
\(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Có : \(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)
= \(\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-x^3-y^3-z^3\)
= \(\left(x+y\right)^3+3z\left(x+y\right)^2+3z^2\left(x+y\right)-x^3-y^3-z^3\)
= \(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+3z\left(x+y\right)^2+3z^2\left(x+y\right)-x^3-y^3-z^3\)
= \(3x^2y+3xy^2+3z\left(x+y\right)^2+3z^2\left(x+y\right)\)
= \(3xy\left(x+y\right)+3z\left(x+y\right)^2+3z^2\left(x+y\right)\)
= \(3\left(x+y\right)\left(xy+xz+yz+z^2\right)\)
= \(3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)
= \(3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Vậy đẳng thức trên được chứng minh
NHA (^.^)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho 3 số thực x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn : left(y-zright)sqrt[3]{1-x^3}+left(z-xright)sqrt[3]{1-y^3}+left(x+yright)sqrt[3]{1-z^3}0CMR : left(1-x^3right)left(1-y^3right)left(1-z^3right)left(1-xyzright)^3Thầy mình gợi ý áp dụng t/c: Nếu a + b + c 0 thì a3 + b3 + c3 3abc đc thế nàyleft(y-zright)^3left(1-x^3right)+left(z-xright)^3left(1-y^3right)+left(x-yright)^3left(1-z^3right)3left(x-yright)left(y-zright)left(z-xright)sqrt[3]{left(1-x^3right)left(1-y^3right)left(1-z^3right)}chưa biết làm...
Đọc tiếp
Cho 3 số thực x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn : \(\left(y-z\right)\sqrt[3]{1-x^3}+\left(z-x\right)\sqrt[3]{1-y^3}+\left(x+y\right)\sqrt[3]{1-z^3}=0\)
CMR : \(\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)=\left(1-xyz\right)^3\)
Thầy mình gợi ý áp dụng t/c: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc đc thế này
\(\left(y-z\right)^3\left(1-x^3\right)+\left(z-x\right)^3\left(1-y^3\right)+\left(x-y\right)^3\left(1-z^3\right)=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)chưa biết làm thế nào cả
Sửa đề: Sửa x+y thành x-y đi nhé ở giả thiết âý
Lời giải+làm rõ cái gợi ý
Ta có mệnh đề \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\), áo dụng cái này với \(a=\left(y-z\right)\sqrt[3]{1-x^3};b=\left(z-x\right)\sqrt[3]{1-y^3};c=\left(x-y\right)\sqrt{1-z^3}\) ta được:
\(\left(y-z\right)^3\left(1-x^3\right)+\left(z-x\right)^3\left(1-y^3\right)+....=...\) (như trên)
Suy ra \(\left(\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3+\left(x-y\right)^3\right)-\left(\left(xy-xz\right)^3+\left(yz-xy\right)^3+\left(zx-yz\right)^3\right)\)
\(=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x+z\right)\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\left(1\right)\)
Ta lại có:\(\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3+\left(x-y\right)^3=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(2\right)\)
Và \(\left(xy-zx\right)^3+\left(yz-xy\right)^3+\left(zx-yz\right)^3=3xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(3\right)\)
Thay (2),(3) vào (1) ta có:
\(3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(1-xyz\right)=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\)
Vì x,y,z đôi một khác nhau nên
\(\left(1-xyz\right)=\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\)
\(\Leftrightarrow\left(1-xyz\right)^3=\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\)
P.s:mệt quá rồi, vừa làm vừa ngáp có gì mai thanh toán
Đúng 0
Bình luận (0)
Bạn lập phương 2 vế của phương trình =0 đó rồi nhân tung ra (vất vả) rồi kết hợp với gợi ý của thầy cậu là ok
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Cho \(A=\left(x+y+z\right)^3-\left(x+y-z\right)^3-\left(y+z-x\right)^3-\left(x+z-y\right)^3\). CMR A \(⋮\)24