1) tìm x,y thuộc Z sao cho:
6xy+2x=15y+12
2) Cho x,y là các số dương biết:
2x2+xy=21y2
Tính: \(\frac{3x+2y}{5x+3y}\)
1 cho x,y,z là các số dương thỏa mãn \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6\)
CM: \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\)
2 Giải hệ pt
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-xy=5\\x^3+y^3=5x+15y\end{matrix}\right.\)
Bài 1:
Đặt \(\left(x+y;y+z;z+x\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)
\(P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+2b+c}\)
\(P=\frac{1}{a+a+b+c}+\frac{1}{a+b+c+c}+\frac{1}{a+b+b+c}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\) hay \(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Bài 2:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-xy=5\\\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)=5x+15y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-xy=5\\5\left(x+y\right)=5x+15y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow10y=0\Rightarrow y=0\)
Thay vào pt đầu: \(x^2=5\Rightarrow x=\pm\sqrt{5}\)
Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{5};0\right);\left(-\sqrt{5};0\right)\)
Tìm x và y thuộc Z A: x-y+xy-9=0 B xy-3y-5x+10=0 C 6xy-3x-2y-1=0
a: x-y+xy-9=0
=>x+xy-y-1=8
=>(y+1)(x-1)=8
=>(x-1;y+1) thuộc {(1;8); (8;1); (-1;-8); (-8;-1); (2;4); (4;2); (-2;-4); (-4;-2)}
=>(x,y) thuộc {(2;7); (9;0); (0;-9); (-7;-2); (3;3); (5;1); (-1;-5); (-3;-3)}
b: xy-3y-5x+10=0
=>y(x-3)-5x+15=5
=>(x-3)(y-5)=5
=>(x-3;y-5) thuộc {(1;5); (5;1); (-1;-5); (-5;-1)}
=>(x,y) thuộc {(4;10); (8;6); (2;0); (-2;4)}
c: 6xy-3x-2y-1=0
=>3x(2y-1)-2y+1-2=0
=>(2y-1)(3x-1)=2
=>(3x-1;2y-1) thuộc {(2;1); (-2;-1)}
=>(x,y) thuộc {(1;1)}
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=12\)
Tìm GTLN của biểu thức \(P=\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}\)
Má mày giúp tao bài tao gửi đii:(
Ta có bất đẳng thức: với \(x,y>0\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Dấu \(=\)khi \(x=y\).
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+2z}\right)\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y+z}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{y+z}\right)\)
Tương tự với \(\frac{1}{3x+2y+3z},\frac{1}{3x+3y+2z}\)sau đó cộng lại vế với vế ta được:
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=3\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{8}\)
Tìm các số x,y,z biết rằng
x:y:z=3:4:5 và \(5z^2-3x^2-2y^2=594\)
3(x-1)=2(y-2) ; 4(y-2)=3(z-3) và 2x+3y-z=50
\(\frac{12x-15y}{7}=\frac{20z-12y}{9}=\frac{15y-20z}{11}\) và x+y+z=48
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn: \(2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1\).
CMR: \(3y^2z^2+4z^2x^2+5x^2y^2\ge4xyz\)
\(1=2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\le x+y+\dfrac{1}{2}\left(x+z\right)=\dfrac{1}{2}\left(3x+2y+z\right)\)
\(\Rightarrow3x+2y+z\ge2\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{5xy}{z}+\dfrac{4xz}{y}+\dfrac{3yz}{x}\ge4\)
Ta có:
\(VT=3\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\right)+2\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\right)+\left(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\right)\)
\(VT\ge3.2\sqrt{\dfrac{x^2yz}{yz}}+2.2\sqrt{\dfrac{xy^2z}{xz}}+2\sqrt{\dfrac{xyz^2}{xy}}=2\left(3x+2y+z\right)\ge2.2=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
xho x, y, z là các số dương thoả mãn x^2+y^2+z^2>=1/3
Tìm GTNN của biểu thức
\(A=\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\)
a, cho 2 số dương x,y thỏa mãn x+y=1
tìm min của \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
b, cho x,y,z là các số dương thỏa mãn : \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6\)
cmr : \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\)
a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)
Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)
Bài 9:Rút gọn rồi tính giá trị
a) x(x-y)+y(x-y) tại x=-1; y=-3
b)x3(3x-2y+y2)+3y(x2+4x+5)-12(xy+1) tại x=1;y=-2
c)x3(2x+3y)-4y(x3+3x)+12xy x=-1; y=2
d)2x2(y+2)-5x(y2+2)+3xy(y-x) tại x=3; y=-2
Lời giải:
a. $=(x-y)(x+y)=[(-1)-(-3)][(-1)+(-3)]=2(-4)=-8$
b. $=3x^4-2xy^3+x^3y^2+3x^2y+12xy+15y-12xy-12$
$=3x^4-2xy^3+x^3y^2+3x^2y+15y-12$
=3-2.1(-2)^3+1^3.(-2)^2+3.1^2(-2)+15(-2)-12$
$=-25$
c.
$=2x^4+3x^3y-4x^3y-12xy+12xy=2x^4-x^3y$
$=x^3(2x-y)=(-1)^3[2(-1)-2]=-1.(-4)=4$
d.
$=2x^2y+4x^2-5xy^2-10x+3xy^2-3x^2y$
$=(2x^2y-3x^2y)+4x^2+(-5xy^2+3xy^2)-10x$
$=-x^2y+4x^2-2xy^2-10x$
$=-3^2.(-2)+4.3^2-2.3(-2)^2-10.3=0$
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn:x^2+y^2+z^2≥1/3
CMR: x^3/2x+3y+5z + y^3/2y+3z+5x + z^3/2z+3x+5y ≥1/30
GIÚP GẤP
\(P=\dfrac{x^3}{2x+3y+5z}+\dfrac{y^3}{2y+3z+5x}+\dfrac{z^3}{2z+3x+5y}\)
\(P=\dfrac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\dfrac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\dfrac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\)
\(P\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(P\ge\dfrac{x^2+y^2+z^2}{10}\ge\dfrac{1}{30}\)
\(P_{min}=\dfrac{1}{30}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)