a) 1+1 div 2+1 div 3+1 div 4

=1+0+0+0

=1

b) 1+1 mod 2+1 mod 3+1 mod 4

=1+1+1+1

=4

1.

Vì 332:a dư 17 => \(332-17⋮a\)=>\(315⋮a\)

555:a dư 15 =>\(555-15⋮a\)=>\(540⋮a\)

=> \(a\inƯC\left(315;540\right)\)

*ƯCLN(315;540)

315= 3².5.7

540= 2².3³.5

=>ƯCLN(315;540)= 3².5 = 45

=> ƯC(315;540) = Ư(45) = \(\left\{1;3;5;9;15;45\right\}\)

KL:\(a\in\left\{1;3;5;9;15;45\right\}\)

2.

Vì 13:a dư 1 => 13-1 \(⋮\) a => 12 \(⋮\) a

15:a dư 1 => 15-1 \(⋮\) a => 14 \(⋮\) a

61:a dư 1 => 61-1 \(⋮\) a => 60 \(⋮\) a

a max

=> a \(\in\) ƯCLN(12;14;60)

12 = 2².3

14 = 2.7

60 = 2².3.5

=>ƯCLN(12;14;60)= 2

KL: a = 2

3.

Vì 167:a dư 17 => \(167-17⋮a\) => \(150⋮a\)

235:a dư 25 => \(235-25⋮a\) => \(210⋮a\)

=> \(a\inƯC\left(150;210\right)\)

*ƯCLN(150;210)

150= 2.3.5²

210= 2.3.5.7

=>ƯCLN(150;210)= 2.3.5 = 30

=> ƯC(150;210) = Ư(30) = \(\left\{1;2;3;5;6;10;15;30\right\}\)

KL: \(a\in\left\{1;2;3;5;6;10;15;30\right\}\)

Từ \(a:b:c:d=2:3:4:5\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}=\dfrac{d}{5}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}=\dfrac{d}{5}=\dfrac{a+b+c+d}{2+3+4+5}=\dfrac{-42}{14}=-3\)

\(\Rightarrow a=-6\)

\(\Rightarrow b=-9\)

\(\Rightarrow c=-12\)

\(\Rightarrow d=-15\)

Có a : b : c : d = 2 : 3 : 4 : 5

\(\Rightarrow\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}=\dfrac{d}{5}\)

Xét \(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}=\dfrac{d}{5}=k\)

\(\Rightarrow a=2k;b=3k;c=4k;d=5k\) (1)

Thay (1) vào a + b + c + d = -42

=> a + b + c + d = 2k + 3k + 4k + 5k

=> 14k = -42

=> k = -3

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3.2=-6\\b=-3.3=-9\\c=-3.4=-12\\d=-3.5=-15\end{matrix}\right.\)

a : 3 dư 1 => \(a-1⋮3\)

b : 3 dư 2 => \(b-2⋮3\)

=> \(\left(a-1\right)\left(b-2\right)=ab-\left(2a+b\right)+2⋮3\)

Ta có: \(a-1⋮3\Rightarrow2a-2⋮3\)

=> \(2a-2+b-2=2a+b-4=2a+b-1-3⋮3\)

=> \(2a+b-1⋮3\)  

Vì:\(ab-\left(2a+b\right)+2=ab-\left(2a+b-1\right)+1⋮3\)

Mà: \(2a+b-1⋮3\)

=> \(ab+1⋮3\)

=> ab : 3 dư 2

Vậy số dư của ab khi chia cho 3 dư 2

Hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn em sử dụng đẳng thức đồng dư  để tìm số dư nhanh nhất em nhé

a:3 dư 1 ⇒ a \(\equiv\) 1 (mod 3)

b: 3 dư 2 ⇒ b \(\equiv\) 2 (mod 3)

Nhân vế với vế ta được: a.b \(\equiv\) 2 (mod 3) ⇒ ab chia 3 dư 2

Dư là 18

Bài 1: Theo đề bài, ta có:

335 : a (dư 13) \(\Rightarrow\) (335 - 13) \(⋮\) a \(\Rightarrow\) 322 \(⋮\) a (a \(\in\) N)

836 : a (dư 8) \(\Rightarrow\) (836 - 8) \(⋮\) a \(\Rightarrow\) 828 \(⋮\) a

\(\Rightarrow\) a \(\in\) ƯC (322;828) = 2.23 = 46

\(\Rightarrow\) a \(\in\) ƯC (46) = { 1 ; 2 ; 23 ; 46 }

Bài 2: Gọi số tự nhiên đó là a ( a \(\in\) N ).

Vì: a : 7 (dư 5)

a : 13 (dư 4)

Mà: 91 = 7.13

\(\Rightarrow\) a : 7.13 (dư 5 + 4)

\(\Rightarrow\) a : 91 (dư 9)

Vậy số tự nhiên đó chia cho 91 thì dư 9.

Bài 3:

a/ Gọi số nhỏ nhất có 4 chữ số cần tìm là: \(\overline{abcd}\)

Theo đề, ta có: \(\overline{abcd}\) : 12 (dư 1)

\(\overline{abcd}\) : 18 (dư 1)

\(\overline{abcd}\) : 27 (dư 1)

\(\Rightarrow\) \(\overline{abcd}\) - 1 \(\in\) BC( 12 ; 18 ; 27 ) = \(2^2.3^3\) = 108

\(\Rightarrow\) \(\overline{abcd}-1\in B\left(108\right)=\left\{0;108;216;...;972;1080\right\}\)

\(\Rightarrow\overline{abcd}\in\left\{1;109;217;...;973;1081\right\}\)

Mà \(\overline{abcd}\) là số có 4 chữ số nhỏ nhất nên \(\overline{abcd=1081}\)

Vậy................

Câu b mk giải sau,còn bài 3a có chỗ thiếu dấu ..... nên bn tự sửa nha. Chúc bn học tốt!

Bài 3:

b/ Gọi số nhỏ nhất có 4 chữ số cần tìm là: \(\overline{abcd}\)

Theo đề, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\overline{abcd}:12\left(dư10\right)\\\overline{abcd:}18\left(dư16\right)\\\overline{abcd}:27\left(dư25\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)( \(\overline{abcd}\) + 2 ) \(⋮\) 12 \(⋮\) 18 \(⋮\) 27

\(\Rightarrow\) \(\overline{abcd}+2\) \(\in\) BC ( 12 ; 18 ; 27 ) = \(2^2.3^3\) = 108

\(\Rightarrow\overline{abcd}+2\in B\left(108\right)=\left\{0;108;216;...;972;1080\right\}\)

\(\overline{abcd}\in\left\{-2;106;214;...;970;1078;...\right\}\)

Mà \(\overline{abcd}\) là số nhỏ nhất có 4 chứ số nên số cần tìm là: 1078.

Nhớ thêm dấu...vào tập hợp nha, mk quên mất.

Cho a là số tự nhiênchia 6 dư 2 và b là số tự nhiên chia 6 dư 3. Chứng minh axb chia hết cho 6

up

u

u

u

u

u

uuupppppppppppp

Bài 2: 

a: Ta có: \(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\)

\(=n^2+5n-n^2-2n+3n+6\)

\(=6n+6⋮6\)

b: Ta có: \(\left(n-1\right)\left(n+1\right)-\left(n-7\right)\left(n-5\right)\)

\(=n^2-1-n^2+12n-35\)

\(=12n-36⋮12\)

00000000000000000000000000000000

a chia 5 dư 1 => a có dạng 5k+1

b chia 5 dư 2 => b có dạng 5k'+2

a.b=(5k+1)(5k'+2)=25kk'+10k+5k'+2

ta thấy \(25kk'⋮5\)\(10k⋮5\)\(5k'⋮5\)'

nên ab chia 5 dư 2