cho A , B thuộc Q . chứng tỏ |A-B| lớn hơn hoặc bằng |A|-|B|
1) cho a,b thuộc Q. chứng tỏ:
a) \(a^2+2ab+b^2\)lớn hơn hoặc bằng 0
b)\(a^2-2ab+b^2\)lớn hơn hoặc bằng 0
a,ta có a^2+2ab+b^2=[a+b]^2 lớn hơn hoặc bằng 0
b, a^2-2ab+b^2=[a-b]^2 lớn hơn hưacj bằng 0
Cho x,y thuộc Q. Chứng tỏ rằng:
a) / x+y / bé hơn hoặc bằng /x/ + /y/
b) / x-y / lớn hơn hoặc bằng /x/ - /y/
CHỨNG TỎ: |a|+|b| lớn hơn hoặc bằng |a+b| với mọi a,b thuộc Z
lal + lbl >= la + bl
<=> a2 + 2lallbl + b2 >= a2 + 2ab + b2
<=> lallbl >= ab (đúng với mọi a; b thuộc Z)
Chứng tỏ rằng ,các số có dạng :
a, A=22n - 1 chia hết cho 5 ( n thuộc N ,n lớn hơn hoặc bằng 2)
b, B=24n +4 chia hết cho10 ( n thuộc N , n lớn hơn hoặc bằng 1)
c, H=92n +3 chia hết cho 2 ( n thuộc N , n lớn hơn hoặc bằng 1 )
Cho a, b là số tự nhiên khác 0, chứng tỏ rằng
a) a/b+b/a lớn hơn hoặc bằng 2
b) (a+b)×(1/a+1/b) lớn hơn hoặc bằng 4
cho x=a/b < y=c/d (a,b,c,d thuộc Z và b,d lớn hơn hoặc bằng 0)
Chứng tỏ a/b < a+c/b+d < c/d
Cho a,b là các số dương .chứng tỏ rằng \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) lớn hơn hoặc bằng 2
Giải:
\(a,b\) là các số dương \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}>0\)
Không giảm tính tổng quát
Ta giả sử \(a\ge b\Leftrightarrow a=b+m\left(m\ge0\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\)
\(=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}\)
\(=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\a=b\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) (Đpcm)
Nhận xét:
Trong một BĐT có chứa chữ, nếu các chữ \(a\) và \(b\) có vai trò như nhau, ta có thể thay \(a\) bởi \(b\); \(b\) bởi \(a\), do đó ta có thể sắp thú tự tùy ý cho nên trong cách giải trên ta đã giả sử \(a\ge b\) mà không sợ mất tính tổng quát.
Thiếu đk ab > 0.
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=2ab\)
Vì ab > 0
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
Chứng tỏ : | a | + | b | lớn hơn hoặc bằng | a + b |
Lời giải:
Ta có:
$(|a|+|b|)^2=|a|^2+|b|^2+2|a|.|b|=a^2+b^2+2|ab|\geq a^2+b^2+2ab=(a+b)^2$
$\Rightarrow \sqrt{(|a|+|b|)^2}\geq \sqrt{(a+b)^2}$
Hay $|a|+|b|\geq |a+b|$
Dấu "=" xảy ra khi $|ab|=ab\Leftrightarrow ab\geq 0$
Chứng tỏ : | a | + | b | lớn hơn hoặc bằng | a + b |
Điều cần chứng minh :
\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)
\(\left|a+b\right|=\left|a+b\right|\)
Khi này , a và b có thể nhận với giá trị âm hoặc dương hoặc bằng 0 .
\(\hept{\begin{cases}\left|a\right|\ge0\\\left|b\right|\ge0\end{cases}}\)
Nên chúng chỉ có nhận giá trị lớn hơn hoặc bằng 0 .
\(\Rightarrow\)\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)( đpcm )