Để chứng minh AK vuông góc với CK, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và trung tuyến.

Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, ta có AM vuông góc với BC.

Vì M là trung điểm của AH nên ta có MH song song với AC và có độ dài bằng một nửa AC. Vì HK vuông góc với BM nên ta có MH vuông góc với BM.

Từ hai điều kiện trên, ta có MH vuông góc với BM và MH song song với AC. Do đó, ta có MH vuông góc với CK.

Vậy, ta đã chứng minh được AK vuông góc với CK.

 a) xét 2 tg vuông BHA và CKB 
có : BA = BC và 
kéo dài CK cắt AB tại I ta có : g IBK = 90 - g BIK ( do tg IBK vuông tại K ) 
đồng thời tg IBC vuông tại B => g BCK = 90 - g BIK 
==> g IBK = g BCK 
nên tg BHA = tg CKB ==> HB = CK 
b ) 
M là trung điểm của AC => BM vuông góc AC ( t/c tg cân ) 
tg AMB vuông tại M có g MAB = 45 độ nên vuông cân 
=> MA = MB 
tg MKB = tg MHB do có 
MB = MA và BK = AH ( c/m a ) đồng thời 
g MBK = g MAH ( cùng phụ với 2 góc đối đỉnh ở D ) 
==> MK = MH 
g HMK = g HMA + AMK mà gHMK = g KMB ( do 2 tg bàng nhau vừa c/m ) 
nên g HMK = g KMB + g AMK = g AMB = 90 độ 
==> MHK vuông cân 
c) ta có 
đường vuông góc CK < đường xiên CD => CK lớn nhất khi K trùng với D , lúc đó CK = CD 
tuơng tự AH lớn nhất khi H trùng với D , lúc đó AH = AD 
=> tổng lớn nhất khi khi K, H , D trùng nhau 
==> g MAH = 0 độ ( do D thuộc AC) 
nhưng theo c/m b 
g MAH = g MBK ==> g MBK = 0 độ 
==> g MBD = 0 độ nên D trùng với M 
kết luận : để tổng lớn nhất thì nằm ngay vị trí của điểm M 
lúc đó AH + CK = AC 
 

a/ Có \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (t/g ABC cân tại A)

=> \(180^o-\widehat{ABC}=180^o-\widehat{ACB}\)

=> \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)

b/ Xét t/g ABH và t/g ACK có

AB = AC 

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)

BH = CK

=> t/g ABH = t/g ACK (c.g.c)

=> AH = AK

=> t/g AHK cân tại A 

c/ Xét t/g BHM vuông tại M và t/g CKN vuông tại N có

BH = CK\(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}\) (t/g AHK caantai A)

=> t/g BHM = t/g CKN (ch-gn)

=> BM = CNd/ Có

AH = AK 

HM = KN (t.g BHM = t/g CKN)

=> AM =AN

=> t/g AMN cân tại A 

=> \(\widehat{AMN}=\dfrac{180^o-\widehat{HAK}}{2}\)

Mà \(\widehat{AHK}=\dfrac{180^o-\widehat{HAK}}{2}\) (t/g AHK cân tại A)

=> \(\widehat{AMN}=\widehat{AHK}\)

Mà 2 góc này đồng vị

=> MN// HK

a) Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABH}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{ACB}+\widehat{ACK}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)(đpcm)

b) Xét ΔABH và ΔACK có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)(cmt)

BH=CK(gt)

Do đó: ΔABH=ΔACK(c-g-c)

nên AH=AK(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔAHK có AH=AK(cmt)

nên ΔAHK cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

c) Xét ΔMHB vuông tại M và ΔNKC vuông tại N có

BH=CK(gt)

\(\widehat{H}=\widehat{K}\)(hai góc ở đáy của ΔAHK cân tại K)

Do đó: ΔMHB=ΔNKC(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: BM=CN(hai cạnh tương ứng)

d) Ta có: ΔMHB=ΔNKC(cmt)

nên MH=NK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AM+MH=AH(M nằm giữa A và H)

AN+NK=AK(N nằm giữa A và K)

mà AK=AH(cmt)

và MH=NK(cmt)

nên AM=AN

Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)

nên ΔAMN cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

Ta có: ΔAMN cân tại A(cmt)

nên \(\widehat{AMN}=\dfrac{180^0-\widehat{MAN}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔAMN cân tại A)

hay \(\widehat{AMN}=\dfrac{180^0-\widehat{HAK}}{2}\)(1)

Ta có: ΔAHK cân tại A(cmt)

nên \(\widehat{AHK}=\dfrac{180^0-\widehat{HAK}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔAHK cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AMN}=\widehat{AHK}\)

mà \(\widehat{AMN}\) và \(\widehat{AHK}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MN//HK(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

xin lỗi tôi ko biết

ai mik lại

ai duyệt mình duyệt lại

ai đúng mình dừng lại

chon a,b,c

ai tivk vho minh mk khac k lai !

Hình hơi lệch mọi người thông cảm

cảm ơn bạn nhé!