cho tam giác ABC với 3 trung tuyến AM,BN ,CP. Chứng minh \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)
Lời giải:
Vì $AM$ là trung tuyến của tam giác $ABC$ nên $M$ là trung điểm của $BC$
\(\Rightarrow \overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}\) (2 vecto đối nhau)
Ta có:
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\); \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}\)
\(\Rightarrow 2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(2\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}; 2\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CP}\)
Cộng theo vế các đẳng thức trên:
\(\Rightarrow 2(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP})=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})\)
\(=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\) (đpcm)
Cho tam giác ABC và ba trung tuyến AM,BN,CP.Chứng minh:
\(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CP}.\overrightarrow{AB}=0\)
Cho tam giác ABC và điểm M bất kỳ,chứng minh:
\(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB}=0\)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O). Gọi M,N,P lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn với các cạnh BC, CA, AB và thỏa mãn
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=0\). CHứng minh tam giác ABC đều
1. Cho tam giác ABC có O là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\) và OA=OB=OC. Gọi M ,N ll là trung điểm của BC,AC . Tính số đo của \(\left(\overrightarrow{AM,}\overrightarrow{BN}\right)\)
2. Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a . Gọi P,Q ll là trung điểm của CD,DA . Tính \(\overrightarrow{BQ}.\overrightarrow{BP}\)
Help me ! Tks
1.
Gọi G là trọng tâm tam giác
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow O\equiv G\)
\(\Rightarrow O\) là trọng tâm tam giác ABC
\(\Rightarrow\Delta ABC\) đều
Gọi độ dài các cạnh tam giác là a
\(\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{1}{4}a^2-\dfrac{1}{8}a^2-\dfrac{1}{8}a^2+\dfrac{1}{2}a^2=0\)
Mặt khác \(\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AM}=BN.AM.cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)\)
\(\Rightarrow BN.AM.cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=0\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=0\Rightarrow\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=90^o\)
\(BD=\dfrac{AB}{cos45^o}=\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=a\sqrt{2}\)
\(\overrightarrow{BQ}.\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}BA.BC.cos90^o+\dfrac{1}{4}BA.BD.cos45^o+\dfrac{1}{4}BD.BC.cos45^o+\dfrac{1}{4}BD^2\)
\(=\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{1}{2}a^2=a^2\)
Giúp e những bài này với ạ
1) Cho tam giác ABC. GỌI N, H, V là ba điểm thỏa mãn:
\(\overrightarrow{NB} \)-2\(\overrightarrow{NC} \)=\(\overrightarrow{0} \)
\(2\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{0} \)
\(\overrightarrow{VA}+\overrightarrow{VB}=\overrightarrow{0} \)
b) chứng minh n,h,v thẳng hàng
2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi G và H lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC. Còn M là trung điểm BC.
a) so sánh 2 vecto \(\overrightarrow{HA},\overrightarrow{MO} \)
b) Chứng minh rằng :
i) \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO} \)
ii)\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG} \)
3)Cho tam giác ABC và một điểm M thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MC} \). Gọi BN là trung tuyến của tam giác ABC và I là trung điểm BN.
Chứng Minh a)\(2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI} \)
b) \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AM} \)
4)Cho tam giác ABC, , lấy các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=6\overrightarrow{NP}-\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{PC}+2\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{0} \)
a) Biểu diễn \(\overrightarrow{AN} \) qua \(\overrightarrow{AM} \) và \(\overrightarrow{AP} \)
b)Chứng minh M,N,P thẳng hàng
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
\(a.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=0\)
\(b.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{PC}\)
a) Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Nên AM, BN, CP lần lượt là đường trung tuyến của BC, CA, AB.
\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)
Lời giải:
a)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}\)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}\)
\(\Rightarrow 2(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP})=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP})+(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AN})\)
\(=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) (do các cặp tổng đều là vecto đối nhau)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=0\)
(đpcm)
b) Theo phần a:
\(\overrightarrow{AM}=-(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP})=-\overrightarrow{BN}+(-\overrightarrow{CP})\)
\(=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{PC}\) (đpcm)
Cho tam giác ABC và M là trung điểm BC.a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}\)b) Cho hai điểm E,K thỏa mãn: \(\overrightarrow{EA}=-3\overrightarrow{EM}\) và \(5\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{AC}\). Chứng minh ba điểm B,E,K thẳng hàng.
a.
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}\)
b.
\(\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{EM}=3\overrightarrow{EA}+3\overrightarrow{AM}\Rightarrow4\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AM}\Rightarrow\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AM}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{5}{8}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}=\dfrac{8}{5}\overrightarrow{BE}\)
\(\Rightarrow\) B, E, K thẳng hàng
Cho tam giác đều ABC, AB = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
a, Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\)
b, Tính \(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}\right|\) theo a?
c, Tìm vị trí điểm N thỏa mãn: \(3\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NB}+2\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)
Có vẻ không đúng.
Giả sử \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow M\equiv B\) (Vô lí)
Hình vẽ:
a, Chứng minh \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\)
Ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BM}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
b, Gọi H là trung điểm \(MC\)
Ta có \(AM=\sqrt{AC^2-MC^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}\)
\(AH=\sqrt{AM^2+MH^2}=\sqrt{\left(a\sqrt{3}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=a.\dfrac{\sqrt{13}}{2}\)
\(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|2\overrightarrow{AH}\right|=2AH=a\sqrt{13}\)
c, Gọi D là trung điểm AB
\(3\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NB}+2\overrightarrow{NC}=3\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}\right)+2\overrightarrow{NC}=6\overrightarrow{ND}+2\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{NC}=3\overrightarrow{DN}\)
Vậy N thuộc đoạn CD sao cho \(CN=\dfrac{3}{4}CD\)
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD. CMR:
a. \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
b. \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}\)
c.\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)
d. \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP},\forall0\)
a: \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
b: \(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\)
\(=\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\)
c: \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\right)=\overrightarrow{0}\)
