Lời giải:

Vì $x+y+z=1$ và $x,y,z\geq 0$ nên $1-x,1-y,1-z\geq 0$

Ta sử dụng BĐT Cauchy quen thuộc \(ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\) kết hợp với điều kiện $x+y+z=1$ thì có:

\(4(1-x)(1-y)(1-z)=[4(1-x)(1-z)](1-y)\)

\(\leq (1-x+1-z)^2(1-y)=(1+y)^2(1-y)=(1-y^2)(1+y)\leq 1(1+y)\) (do $y^2\geq 0\rightarrow 1-y^2\leq 1$)

hay \(4(1-x)(1-y)(1-z)\leq x+y+z+y=x+2y+z\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $y=0; x=z=0,5$

Ta có: \(x+y+z=1\) nên:

\(\Rightarrow y+z=1-x\)

Thay \(y+z=1-x\) và áp dụng BĐT \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) ta được:

\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left[\left(y+z\right)+\left(1-z\right)\right]^2\left(1-y\right)\)

\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)=\left(1+y\right)\left(1-y^2\right)\le1+y\)

\(\Rightarrow4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le1+y=x+2y+z\left(đpcm\right)\)

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)

\(=4\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)

\(\le\frac{\left(x+y+y+z\right)^2}{4}\times4\left(x+z\right)\)

\(=\left(x+2y+z\right)^2\left(x+z\right)\)

\(\le\left(x+2y+z\right)\times\frac{\left(x+2y+z+x+z\right)^2}{4}\)

\(=\left(x+2y+z\right)\times\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{4}\)

\(=x+2y+z\left(\text{đ}pcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\)

Dấu = xảy ra:\(\hept{\begin{cases}x=z=\frac{1}{2}\\y=0\end{cases}}\)

lm dc r` chứ j thôi nhé :))

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc \(4xy\le\left(x+y\right)^2\), cho ta

\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=4\left(1-x\right)\left(1-z\right)\cdot\left(1-y\right)\)

\(\le\left(1-x+1-z\right)^2\cdot\left(1-y\right)=\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)=\left(1+y\right)\left(1-y^2\right)\)

\(\le1+y=x+2y+z.\)
 

Chứng minh $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

\(P\le\dfrac{1}{4}\left(4x+3y+4z\right)^2\le\dfrac{1}{4}\left(4x+4y+4z\right)^2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}\right)\)

BĐT đã cho <=> 1 + y \(\ge\) 4.(1 - x).(1 - y).(1 - z)

Áp dụng BĐT :  4ab \(\le\) (a + b)² ta có: 4.(1 - x)(1 - z) \(\le\) (1 - x + 1 - z)² = (1 + y)²

=> 4.(1 - x)(1 - y)(1 - z) \(\le\) (1 + y)².(1 - y) = (1 + y).(1 -y²) \(\le\) (1 + y) .1 = 1+ y => đpcm

Dấu "=" xảy ra khi 1 - y² = 1 và x = z => y = 0 ; x = z = 1/2