Khi x<2 thì -3x>-6

=>-3x+8>2>0

=>\(y=\sqrt{-3x+8}+x\) luôn xác định khi x<2(1)

Khi x>=2 thì x+7>=9>0 

=>\(f\left(x\right)=\sqrt{x+7}+1\) luôn xác định khi x>=2(2)

Từ (1),(2) suy ra tập xác định là D=R

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{3\left(x-1\right)}{\left(1-x\right)\left(x^2+x+1\right)\left(\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{-3}{\left(x^2+x+1\right)\left(\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4\right)}=-\dfrac{1}{12}\)

\(f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{2m\sqrt{x}+3}{5}=\dfrac{2m+3}{5}\)

Hàm liên tục trên R khi và chỉ khi:

\(f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\Leftrightarrow\dfrac{2m+3}{5}=-\dfrac{1}{12}\Leftrightarrow m=-\dfrac{41}{24}\)

a.

\(\Leftrightarrow x^2+2\left(m-1\right)x+m^2+3m+5\ne0\) ; \(\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m^2+3m+5\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-5m-4< 0\)

\(\Leftrightarrow m>-\dfrac{4}{5}\)

b. 

\(\Leftrightarrow x^2+2\left(m-1\right)x+m^2+m-6\ge0\) ;\(\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m^2+m-6\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-3m+7\le0\)

\(\Rightarrow m\ge\dfrac{7}{3}\)

c.

\(x^2-2\left(m+3\right)x+m+9>0\) ;\(\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(m+9\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2+5m< 0\Rightarrow-5< m< 0\)

\(f\left(-2\right)=-2m+1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{x^2-3x+2}{x^3+8}=\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{x-1}{x^2-2x+4}=\dfrac{-2-1}{4-2.\left(-2\right)+4}=-\dfrac{1}{4}\)

\(f\left(-2\right)\ne\lim\limits_{x\rightarrow-2^-}f\left(x\right)\Leftrightarrow-2m+1\ne-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m\ne\dfrac{5}{8}\)

Hàm có TXĐ là R khi và chỉ khi: \(\left(m-2\right)x^2+\left(m-2\right)x+4\ge0;\forall x\)

- Với \(m=2\) thỏa mãn

- Với  \(m\ne2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2>0\\\Delta=\left(m-2\right)^2-16\left(m-2\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>2\\\left(m-2\right)\left(m-18\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2< m\le18\)

Kết hợp lại ta được: \(2\le m\le18\)

a) \(\dfrac{2}{x+1}\) xác định với x≠-1, \(\sqrt{x+3}\) xác định với x ≥ -3

Tập xác định của y = là:

D = {x ∈ R/ x + 1 ≠ 0 và x + 3 ≥ 0} = [-3, +^∞)\{-1}

Có thể viết cách khác: D = [-3, -1] ∪ (-1, +^∞)

b) Tập xác định

D = {x ∈ R/ 2 -3x ≥ 0} ∩ {x ∈ R/ 1-2x ≥ 0}

= [-^∞, ]∩(-^∞, ) = (-^∞, )

c) Tập xác định là:

D = [1, +^∞) ∪ (-^∞,1) = R

Khi \(x\ne1\) thì \(f\left(x\right)=\dfrac{3x^2-3x}{x-1}=\dfrac{3x\left(x-1\right)}{x-1}=3x\) hoàn toàn xác định

nên f(x) liên tục trên các khoảng \(\left(-\infty;1\right);\left(1;+\infty\right)\)(1)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{3x^2-3x}{x-1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{3x\left(x-1\right)}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}3x=3\cdot1=3\)

\(f\left(1\right)=m\cdot1+1=m+1\)

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số cần liên tục trên các khoảng sau: \(\left(-\infty;1\right);\left(1;+\infty\right)\) và liên tục luôn tại x=1(2)

Từ (1),(2) suy ra để hàm số liên tục trên R thì hàm số cần liên tục tại x=1

=>\(f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)\)

=>m+1=3

=>m=2