mk kobt

mk mới hok lp 5

xin  lỗibn

Tao không biết và tao cũng chẳng quan tâm

mình mới học lớp 5 thôi, thành thật xin lỗi bạn nha

Đặt \(n^3-n+2=a^2\)

<=>  \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2=a^2\)

Vì \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\equiv0\left(mod3\right)\)

=> \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\equiv2\left(mod3\right)\)

Mà   1 số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1

=>  \(n^3-n+2\) không thể là số chính phương

\(B=\left(n-1\right)\left(n+5\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)+16\)

\(=\left(n^2+4n-5\right)\left(n^2+4n+3\right)+16\)

\(=\left(n^2+4n\right)^2-2\left(n^2+4n\right)-15+16\)

\(=\left(n^2+4n-1\right)^2\) là số chính phương

\(B=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)\left(n+5\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+5\right)+16\\ \Rightarrow B=\left[\left(n-1\right)\left(n+5\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+3\right)\right]+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5\right)\left(n^2+4n+3\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5\right)\left(n^2+4n-5+8\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5\right)^2+8\left(n^2+4n-5\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5+4\right)^2\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-1\right)^2\)

Vậy B là số chính phương với mọi số nguyên n

Đặt \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+2n+n+2\right)+1\)

Đặt \(n^2+3=t\)

=> \(A=t\left(t+2\right)+1\)

\(=t^2+2t+1\)

\(=\left(t+1\right)^2\)

=> A là số chính phương

Vậy với mọi số tự nhiên n thì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\) là số chính phương ( đpcm )
 

\(S=\left[\left(2n+1-1\right):2+1\right]\times\left(2n+1+1\right):2\)

\(S=\left(n+1\right)\times\left(2n+2\right):2\)

\(S=\left(n+1\right)\times\left(n+1\right)\)

\(S=\left(n+1\right)^2\)( dpcm )

Xin lỗi đợi tao một lát nữa đi.

ko đc văng tục nha bạn

\(\left(3^{n+1}-2.2^n\right)\left(3.3^n+2^{n+1}\right).3^{2n+2}+\left(8.2^{n-2}.3^{n+1}\right)^2\)

\(=\left(3^{n+1}-2^{n+1}\right)\left(3^{n+1}+2^{n+1}\right).3^{2n+2}+\left(2^{n+1}.3^{n+1}\right)^2\)

\(=\left(3^{2n+2}-2^{2n+2}\right).3^{2n+2}+2^{2n+2}.3^{2n+2}\)

\(=3^{2\left(2n+2\right)}-2^{2n+2}.3^{2n+2}+2^{2n+2}.3^{2n+2}\)

\(=3^{2\left(2n+2\right)}=\left(3^{2n+2}\right)^2\).

Ta thấy \(\left(3^{2n+2}\right)^2\)luôn là 1 số chính phương với mọi n\(\in\)N

Nên ta có ĐPCM.

Ta thấy: \(n^2-n+2=n^2-\frac{1}{2}.2.n+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}=\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\)

Vì (n-1/2)^2 là số chính phương mà 7/4 ko là số chính phương nên x^2 - n + 2 không phải là số chính phương với mọi n >= 2