a) \(\left(x\right)^2+2\left(x\right)\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2+1\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

Nên \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\)

b) \(\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2+8y+1\right)+\left(z^2-6z+9\right)+4\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2+4\)

Vì \(\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2\ge0\forall x,y,z\)

Nên \(\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2+4>0\forall x,y,z\)

a,Đặt \(A=x^2-2x+2y^2+8y+9\)

\(=\left(x^2-2x+1\right)+2\left(y^2+4y\right)+8\)

\(=\left(x-1\right)^2+2\left(y^2+4y+4-4\right)+8\)

\(=\left(x-1\right)^2+2\left(y+2\right)^2-8+8\)

\(=\left(x-1\right)^2+2\left(y+2\right)^2\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2\ge0\\2\left(y+2\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A=\left(x-1\right)^2+2\left(y+2\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow A\) không âm với mọi x, y

Vậy...

a)\(x^2-2x+2y^2+8y+9\)

\(=x^2-2x+1+2y^2+8y+8\)

\(=\left(x-1\right)^2+2\left(y^2+4y+4\right)\)

\(=\left(x-1\right)^2+2\left(y+2\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y+2=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

b)\(\left(x^2-xy+y^2\right)^3+\left(x^2+xy+y^2\right)^3\)

\(=\left(x^2-xy+y^2+x^2+xy+y^2\right)\left[\left(x^2-xy+y^2\right)^2-\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\left(x^2+xy+y^2\right)^2\right]\)

\(=2(x^2+y^2)[x^4-2x^3y+3x^2y^2-2xy^3+y^4-x^4-x^2y^2-y^4+x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4]\)

\(=2(x^2+y^2)(x^4+5x^2y^2+y^4)\ge0 \)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

Ta có:

a) \(x^2-2x+2y^2+8y+9=x^2-2x+1+2\left(y^2+4y+4\right)\)

\(=\left(x-1\right)^2+2\left(y+2\right)^2\ge0,\) với mọi x và y

Ta có đẳng thức khi x = 1, y = -2

b) \(\left(x^2-xy+y^2\right)^3+\left(x^2+xy+y^2\right)^3=\left[\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x^2+xy+y^2\right)\right]\left[\left(x^2-xy+y^2\right)^2-\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\left(x^2+xy+y^2\right)^2\right]\)\(=2\left(x^2+y^2\right)\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2xy\left(x^2+y^2\right)+x^2y^2\right]\)

\(=2\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)^2+3x^2y^2\ge0,\) với mọi x, y

Ta có đẳng thức khi x = 0, y = 0

có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

=>`x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2>=0`

`<=>2x^2+2y^2+2z^2>=2xy+2yz+2zx`

`<=>x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx`

a) x² - 8x + 19 = ( x² - 8x + 16 ) + 3 = ( x - 4 )² + 3 ≥ 3 > 0 ∀ x ( đpcm )

b) x² + y² - 4x + 2 = ( x² - 4x + 4 ) + y² - 2 = ( x - 2 )² + y² - 2 ≥ -2 ∀ x, y ( chưa cm được -- )

c) 4x² + 4x + 3 = ( 4x² + 4x + 1 ) + 2 = ( 2x + 1 )² + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x ( đpcm )

d) x² - 2xy + 2y² + 2y + 5 = ( x² - 2xy + y² ) + ( y² + 2y + 1 ) + 4 = ( x - y )² + ( y + 1 )² + 4 ≥ 4 > 0 ∀ x, y ( đpcm )

\(x^2-4xy+5y^2+2x-8y+5=\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\forall x,y\).

x² - 4xy + 5y² + 2x - 8y + 5

= x² + 4y² + 1 - 4xy + 2x  - 4y + y² - 2y + 1

= (x - 2y + 1)² + (y - 1)² ≥ 0

làm tắt ko hiểu thì hỏi 

a) \(=x^2+2.xy.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}y^2-\frac{1}{4}y^2+y^2+1\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2+1>0\)

b) \(=\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2+8y+4\right)+\left(z^2-6x+9\right)+1\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(2y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2+1>0\)

bn ... ơi...mik ...bỏ...cuộc ...hu...hu

. Huhu T^T mong sẽ có ai đó giúp mình "((

\(x\) mũ bao nhiêu thì cô và các bạn mới giúp được chứ em?

7) Chứng minh rằng: x^2 +4y^2 + z^2- 2x -6z +8y + 15 > 0 với mọi x, y, z.

Để được trợ giúp nhanh chóng thì lần sau nhớ ghi đề bài cẩn thận em nhé.

A = \(x^2\) + 4y² + z² - 2\(x\) - 6z + 8y + 15

A = (\(x^2\) - 2\(x\) + 1) + (4y² + 8y + 4) + (z² - 6z + 9) + 1

A = (\(x\) -1)² + (2y+2)² + (z-3)² + 1

Vì (\(x-1\))² ≥ 0 ∀ \(x\) ;  (2y +2)² ≥ 0 ∀ y; (z-3)² ≥ 0 ∀ z

⇒ A = (\(x\) - 1)² + (2y+2)² + (z-3)² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ \(x\); y;z (đpcm)