Question

CMR: Các đa thức sau đây có giá trị không âm với mọi giá trị của x, y:

a) \(x^2-2x+2y^2+8y+9\)

b) \(\left(x^2-xy+y^2\right)^3+\left(x^2+xy+y^2\right)^3\)

Khi nào thì có đẳng thức?

Answer 1

a,Đặt \(A=x^2-2x+2y^2+8y+9\)

\(=\left(x^2-2x+1\right)+2\left(y^2+4y\right)+8\)

\(=\left(x-1\right)^2+2\left(y^2+4y+4-4\right)+8\)

\(=\left(x-1\right)^2+2\left(y+2\right)^2-8+8\)

\(=\left(x-1\right)^2+2\left(y+2\right)^2\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2\ge0\\2\left(y+2\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A=\left(x-1\right)^2+2\left(y+2\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow A\) không âm với mọi x, y

Vậy...

Answer 2

a)\(x^2-2x+2y^2+8y+9\)

\(=x^2-2x+1+2y^2+8y+8\)

\(=\left(x-1\right)^2+2\left(y^2+4y+4\right)\)

\(=\left(x-1\right)^2+2\left(y+2\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y+2=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

b)\(\left(x^2-xy+y^2\right)^3+\left(x^2+xy+y^2\right)^3\)

\(=\left(x^2-xy+y^2+x^2+xy+y^2\right)\left[\left(x^2-xy+y^2\right)^2-\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\left(x^2+xy+y^2\right)^2\right]\)

\(=2(x^2+y^2)[x^4-2x^3y+3x^2y^2-2xy^3+y^4-x^4-x^2y^2-y^4+x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4]\)

\(=2(x^2+y^2)(x^4+5x^2y^2+y^4)\ge0 \)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

Answer 3

Ta có:

a) \(x^2-2x+2y^2+8y+9=x^2-2x+1+2\left(y^2+4y+4\right)\)

\(=\left(x-1\right)^2+2\left(y+2\right)^2\ge0,\) với mọi x và y

Ta có đẳng thức khi x = 1, y = -2

b) \(\left(x^2-xy+y^2\right)^3+\left(x^2+xy+y^2\right)^3=\left[\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x^2+xy+y^2\right)\right]\left[\left(x^2-xy+y^2\right)^2-\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\left(x^2+xy+y^2\right)^2\right]\)\(=2\left(x^2+y^2\right)\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2xy\left(x^2+y^2\right)+x^2y^2\right]\)

\(=2\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)^2+3x^2y^2\ge0,\) với mọi x, y

Ta có đẳng thức khi x = 0, y = 0