a: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

b: Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>AD//HE và AD=HE

Ta có: AD//HE

F\(\in\)HE

Do đó: AD//HF

Ta có: AD=HE

HE=EF

Do đó: AD=EF

Xét tứ giác ADEF có

AD//EF

AD=EF

Do đó: ADEF là hình bình hành

c: ta có: AEHD là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)

mà \(\widehat{AHD}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

nên \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

Ta có: MA=MC

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

Ta có: \(\widehat{AED}+\widehat{MAC}\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>AM\(\perp\)ED

mà ED//AF(ADEF là hình bình hành)

nên AM\(\perp\)AF

a) Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

- Vì AD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (do HD và HE lần lượt là đường cao của tam giác ABC), nên ADHE là hình chữ nhật.

b) Lấy điểm F sao cho E là trung điểm của HF.

- Vì E là trung điểm của HF, nên EF = FH.

- Ta cũng có HE = EA (do E là trung điểm của HF và EA).

- Từ đó, ta có EF = FH = HE = EA.

- Vậy, tứ giác ADEF có các cạnh đối diện bằng nhau, là đặc điểm của hình bình hành.

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chúng ta cần chứng minh AM vuông góc với AF.

- Ta biết rằng E là trung điểm của HF (theo phần b).

- Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.

- Từ đó, ta có AM = BM = MC.

- Vì EF = FH = HE = EA (theo phần b), nên tứ giác ADEF là hình bình hành.

- Do đó, ta có AF song song với DE.

- Vì AM = MC và AF song song với DE, nên AM vuông góc với AF.

Vậy, ta đã chứng minh được AM vuông góc với AF.

a; 

có Abc là tam giac cân taji A (gt)

=> AH là đg cao và là ddg trùng tuyến và là đg phan giác 

=> H là trung điểm của BC

Xét tam giác ABH va ACH có

1: có AH chung

2: HB=HC( CMT)

3: AB=AC (2 cạnh bên của tam giác ABC cân tại a)

=> 2 tam giác bằng nhau theo TH c.c.c

b;

xét 2 tam giác: AMB va CME có

AM=MC ( BM là trung tuyến=>m là trung điểm AC)

MB=ME (GT)

Góc AMB=Goc AMC (2 góc đối đỉnh)

=> 2tam giác bằng nhau theo TH (CGC)

=> góc CEm= góc ABM (2 góc tương ung trong 2 tam giác bằng nhau)

=> AB//CE (2 đg thằng có 2 góc đồng vị bằng nhau)

c;

có AB//CE (CMt)

=> Góc ABC= góc BCK (2 góc so le trong)

xet 2 tam giác vuông ACH va KCH có

HC chung

goc KCH=ACH (cùng bằng góc ABC)

=> 2 tam giác bằng nhau

=>HK=AH (1)

xet Tam gioác ABC có am là trung tuyên tại M; BM là trung tuyến

=> G là trọng tâm

=> HG= 1/3 AH (tinh chât trọng tâm của tam giác) (2)

tù 1 và 2 => HG=1/3 HK => HK=3HG(3)

Trong Tam giác KHC có 

CK< HC+HK (4)

Từ 3 và 4 => KC< HC+3HG (dieu phai chung minh)

Bài 1: 

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC

hay BMNC là hình thang

b: Xét ΔABK có MI//BK

nên MI/BK=AM/AB=1/2(1)

XétΔACK có NI//CK

nên NI/CK=AN/AC=1/2(2)

Từ (1)và (2) suy ra MI/BK=NI/CK

mà MI=NI

nên BK=CK

hay K là trug điểm của BC

Xét ΔABC có 

K là trung điểm của BC

M là trung điểm của AB

Do đó: KM là đường trung bình

=>KM//AN và KM=AN

hay AMKN là hình bình hành

b: Xét tứ giác ABCE có

M là trung điểm chung của AC và BE

=>ABCE là hình bình hành

=>CE//AB

c: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHKC vuông tại H có

HB=HC

góc HAB=góc HKC

=>ΔHAB=ΔHKC

=>HA=HK

Xét tứ giác ABKC có

H là trung điểm chung của BC và AK

AB=AC

=>ABKC là hình thoi

=>AC=CK

Xét ΔABC có

BM,AH là trung tuyến

BM cắt AH tại G

=>G là trọng tâm

=>3GH=AH

3GH+HC=AH+HC>AC=CK

HÌNH XẤU THÔNG CẢM

a) MI // AC nên \(\widehat{MIA}=\widehat{IAC}=90^o\)

vậy tứ giác ACMI là hình thang vuông

b) CM= CA nên \(\Delta ACM\)cân tại C \(\Rightarrow\widehat{CMA}=\widehat{CAM}\)

Mà \(\widehat{CMA}+\widehat{A_2}=90^o\); \(\widehat{CAM}+\widehat{A_1}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

Xét 2 tam giác vuông : \(\Delta AMH\)và \(\Delta AMI\)có :

\(AM\)chung ; \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)( cmt )

\(\Rightarrow\Delta AMH=\Delta AMI\)( cạnh huyền - góc nhọn )

\(\Rightarrow AI=AH\)

c) AB + AC = ( AI + BI  ) + CM = AH + CM + BI

Mà \(\Delta BIM\)vuông tại I nên BI < BM

\(\Rightarrow AB+AC=AH+CM+BI< AH+CM+BM=AH+BC\)

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC

nên H là trung điểm của BC

Xét ΔBAC có 

AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC

AH cắt BM tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

Suy ra: \(BG=\dfrac{2}{3}BM\)

\(\Leftrightarrow GM=MK=\dfrac{1}{3}BM\)

\(\Leftrightarrow GM+MK=GK=\dfrac{2}{3}BM\)

\(\Leftrightarrow BG=GK\)

hay G là trung điểm của BK

1. ta có AD = BC (gt)

mà DH = BF (gt)

=> AH =FC

xét ▲AHE và ▲FCG, có:

AE = CG (gt)

góc A = góc C (gt)

AH = FC (cmt)

=>▲AHE = ▲FCG (c.g.c)

=>HE = FG (2 cạnh t/ứ)

cmtt : HG = EF

Vậy EFGH là hbh (đpcm)

b: Xét tứ giác ABHM có 

AM//BH

AM=BH

Do đó: ABHM là hình bình hành

Suy ra: B đối xứng M qua D