Cho x,y là hai số thực thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}ax+by=c\\bx+cy=a\\cx+ay=b\end{cases}}\)
Chứng minh rằng : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
(chuyên Thanh Hóa 2018 )
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn biểu thức \(\hept{\begin{cases}a^3-3a^2+5a-17=0\\b^3-3b^2+5b+11=0\end{cases}}\)
Chứng minh rằng a+b=2
Bạn xem lại đề nhé :
Phương trình \(b^3-3b^2+5b+11=0\)không có nghiệm dương nhé
\(VT=b\left(b-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}b+11>0\forall b>0\)
Thử nha, sai thì chịu@@
Giả sử a + b khác 2 khi đó. Cộng theo vế hai pt trên cho nhau:
\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-3\left(a^2+b^2\right)+5\left(a+b\right)=6\) (1)
\(VT=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2+5\right)-3\left(a^2+b^2\right)\)
\(\ne2\left(a^2-ab+b^2+5\right)-3\left(a^2+b^2\right)\)
\(=-2ab+10-a^2-b^2=-\left(a+b\right)^2+10\)
Theo (1) thì\(-\left(a+b\right)^2+10=6\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b=2\\a+b=-2\left(\text{Loại do a, b dương}\right)\end{cases}}\).
Do đó a + b = 2, nhưng điều này trái với điều giả sử => điều giả sử sai => đpcm
Chuyên Hải Dương 2010:
Cho trước \(a,b\in R\); gọi x,y là 2 số thực dương thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\x^3+y^3=a^3+b^3\end{cases}}\)
Chứng minh rằng :\(x^{2011}+y^{2011}=a^{2011}+b^{2011}\)
Ta có \(\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\x^3+y^3=a^3+b^3\end{cases}\left(1\right)}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\xy\left(a+b\right)=ab\left(a+b\right)\end{cases}\left(2\right)}\)
Nếu \(a+b\ne0\)thì \(\left(2\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\xy=ab\end{cases}}\)
=> x,y là 2 nghiệm của phương trình \(X^2-\left(a+b\right)X+ab=0\)
Giải ra ta có \(\hept{\begin{cases}x=b\\y=a\end{cases};\hept{\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}}}\)\(\Rightarrow x^{2011}+y^{2011}=a^{2011}+b^{2011}\)(3)
Nếu \(a+b=0\Rightarrow a=-b\)
Ta có hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\x^3+y^3=0\end{cases}\Rightarrow x=-y}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^{2011}+y^{2011}=0\\a^{2011}+y^{2011}=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^{2011}+y^{2011}=a^{2011}+b^{2011}\)(4)
Từ (3) và (4) => đpcm
Cho hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}ax+by=c\\bx+cy=a\\cx+ay=b\end{cases}}\) (a;b;c là tham số). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ của hệ phương trình đã cho có nghiệm là: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Ta có : \(\hept{\begin{cases}ax+by=c\\bx+cy=a\\cx+ay=b\end{cases}}\Rightarrow\left(ax+by\right)+\left(bx+cy\right)+\left(cx+ay\right)=a+b+c\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(a+b+c\right)=a+b+c\)
\(\Rightarrow\left(x+y-1\right)\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y-1=0\\a+b+c=0\end{cases}}\)
Xét \(a+b+c=0\), ta có :
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)
\(=0\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Xét \(x+y-1=0\),ta có :
\(x=1-y\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ax+by=c\\bx+cy=a\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-ay+by=c\\b-by+cy=a\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(b-a\right)y=c-a\\\left(c-b\right)y=a-b\end{cases}}\Rightarrow\frac{b-a}{b-c}=\frac{c-a}{a-b}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Chuyên Quảng Ngãi 2018
Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\)
Chứng minh rằng \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=1\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\left(1\right)\)
Lại có:\(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2=-a\\b^2-c^2=-b\\c^2-a^2=-c\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right).\left(a+b\right)=-a\\\left(b-c\right).\left(b+c\right)=-b\\\left(c-a\right).\left(c+a\right)=-c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)=-\frac{a}{a+b}\\\left(b-c\right)=-\frac{b}{b+c}\\\left(c-a\right)=-\frac{c}{a+c}\end{cases}}\)
Từ (1) \(\Rightarrow\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(c-a\right)=-\left(\frac{a}{a+b}\cdot\frac{b}{b+c}\cdot\frac{c}{a+c}\right)=\frac{-abc}{-c.\left(-a\right).\left(-b\right)}=1\)
Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn \(\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}\)
Chứng minh rằng:\(\left(ax+by+cz\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{acy-bcx}{c^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{0}{a^2+b^2+c^2}=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay-bx=0\\cx-az=0\\bz-cy=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(cx-az\right)^2+\left(bz-ay\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2+a^2z^2-2axcz+c^2x^2+b^2z^2-2bycz\)
\(+c^2y^2=0\)
\(\Rightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)
\(=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
Tìm các số thực x,y thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=9\\x^3+y^3=-27\end{cases}}\)
1. tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : x3 + y3 = 2016
2. tìm bộ 3 số nguyên dương a,b,c biết rằng :
\(\hept{\begin{cases}ac=b\left(a-b+c\right)\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\end{cases}}\)
giúp mình nha.
1,https://diendantoanhoc.net/topic/157361-t%C3%ACm-c%C3%A1c-s%E1%BB%91-nguy%C3%AAn-x-y-tho%E1%BA%A3-m%C3%A3n-x3y32016/
CHO hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện: \(\hept{\begin{cases}X^{3\:\:}\\X^2+X^2Y^2-2Y=0\end{cases}}+2Y^2-4Y+3=0\)
TÍnh giá trị của biểu thức P=x^2018+y^2018