Cho phương trình \(x^2-mx+m-1=0\), m là tham số dương, biết phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn, giá trị \(x_1^2+x^2_2=10\) của m bằng
Bài 3. Cho phương trình: \(^{x^2-mx-4=0}\) (m là tham số) (1)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) với mọi giá trị của m.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện: \(x_1^2+x_1^2=5\).
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa \(x_1,x_2\) không phụ thuộc giá trị của m.
a, \(\Delta=m^2-4\left(-4\right)=m^2+16\)> 0
Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb
b, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)
Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\)
Thay vào ta được \(m^2-2\left(-4\right)=5\Leftrightarrow m^2+3=0\left(voli\right)\)
Câu 1: Cho phương trình \(x^2-2\left(m+4\right)x+m^2+8m-9=0\)
(Với m là tham số)
a)Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\dfrac{x_1^2+x_2^2-48}{x_1^2+x^2_2}\) nguyên.
\(x^2-2\left(m+4\right)x+m^2+8m-9=0\left(1\right)\)
Ta giải \(\Delta=[-2\left(m+4\right)]^2-4\left(m^2+8m-9\right)=100>0\forall m\)
suy ra pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\forall m\).
Ta có: \(x_1=m-1\), \(x_2=m+1\) (thay \(\Delta\) vào công thức tìm nghiệm phân biệt).
Gọi \(A=\dfrac{x_1^2+x_2^2-48}{x_1^2+x_2^2}\).
\(\Rightarrow A=1-\dfrac{48}{x_1^2+x_2^2}=1-\dfrac{48}{\left(m-1\right)^2+\left(m+1\right)^2}=1-\dfrac{24}{m^2+1}\).
Để biểu thức A nguyên thì \(\dfrac{24}{m^2+1}\) nguyên, suy ra \(m^2+1\inƯ\left(24\right)\).
\(\Rightarrow m^2+1\in\left\{1;2;4;6;8;12;24\right\}\)
\(\Rightarrow m\in\left\{0;\pm1\right\}\) (vì m nhận giá trị nguyên)
Vậy \(m\in\left\{0;\pm1\right\}\) là giá trị cần tìm.
Mình chỉnh sửa lại một chút nhé.
\(A=1-\dfrac{24}{m^2+2}\)
\(\Rightarrow...\)\(\Rightarrow\)\(m^2+2\in\left\{1;2;3;4;6;8;12;24\right\}\)
\(\Rightarrow m\in\left\{0;\pm1;\pm2\right\}\)
Vậy...
Cho pt: \(x^2-4x+m=0\) (m là tham số)
a) tìm giá trị của m để phương trình có các nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(x_1< x_2\) và \(x^{2_2}-x^{2_1}\)
\(x^{2_2}-x^{2_1}=?\)
Bổ sung thêm vào bạn nhé
Cho phương trình: \(x^2\) + (m-1)x - m2 - 2 = 0 ( x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn 2/\(x_1\)/ - /\(x_2\)/ = 4 ( biết \(x_1\) < \(x_2\))
Ta có \(ac=-m^2-2< 0\) ; \(\forall m\) nên pt đã cho luôn có 2 nghiệm trái dấu
Mà \(x_1< x_2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1< 0\\x_2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x_1\right|=-x_1\\\left|x_2\right|=x_2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=4\Leftrightarrow-2x_1-x_2=4\)
Kết hợp với hệ thức Viet: \(x_1+x_2=-m+1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x_1-x_2=4\\x_1+x_2=-m+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x_1=-m+5\\x_1+x_2=-m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=m-5\\x_2=-2m+6\end{matrix}\right.\)
Thay vào \(x_1x_2=-m^2-2\)
\(\Rightarrow\left(m-5\right)\left(-2m+6\right)=-m^2-2\)
\(\Leftrightarrow m^2-16m+28=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=14\end{matrix}\right.\)
cho phương trình:\(x^2+2mx+m^2+m=0\) (với x là ẩn số)
a.Giải phương trình với m=-3
b.tìm giá trị của m để phương trìn có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện \(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2-x^2_2\right)=32\)
a, với =-3
\(=>x^2-6x+6=0\)
\(\Delta=\left(-6\right)^2-4.6=12>0\)
=>pt có 2 nghiệm phân biệt x3,x4
\(=>\left[{}\begin{matrix}x3=\dfrac{6+\sqrt{12}}{2}=3+\sqrt{3}\\x4=\dfrac{6-\sqrt{12}}{2}=3-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
b, \(\Delta=\left(2m\right)^2-4\left(m^2+m\right)=4m^2-4m^2-4m=-4m\)
pt đã cho đề bài có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 khi
\(-4m>0< =>m< 0\)
theo vi ét \(=>\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=-2m\\x1x2=m^2+m\end{matrix}\right.\)
có \(\left(x1-x2\right)\left(x1^2-x2^2\right)=32\)
\(< =>\left(x1-x2\right)^2\left(x1+x2\right)=32\)
\(< =>\left[x1^2-2x1x2+x2^2\right]\left(-2m\right)=32\)
\(< =>\left[\left(x1+x2\right)^2-4x1x2\right]\left(-2m\right)=32\)
\(< =>\left[\left(-2m\right)^2-4\left(m^2+m\right)\right]\left(-2m\right)=32< =>m=2\)(loại)
Vậy \(m\in\varnothing\)
Lời giải:
a. Với $m=-3$ thì pt trở thành:
$x^2-6x+6=0\Leftrightarrow x=3\pm \sqrt{3}$
b. Để pt có 2 nghiệm thì: $\Delta'=m^2-(m^2+m)=-m\geq 0$
$\Leftrightarrow m\leq 0$
Áp dụng định lý Viet: $x_1+x_2=-2m; x_1x_2=m^2+m$
Khi đó:
$(x_1-x_2)(x_1^2-x_2^2)=32$
$\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2(x_1+x_2)=32$
$\Leftrightarrow [(x_1+x_2)^2-4x_1x_2](x_1+x_2)=32$
$\Leftrightarrow [(-2m)^2-4(m^2+m)](-2m)=32$
$\Leftrightarrow 8m^2=32$
$\Leftrightarrow m^2=4$
$\Rightarrow m=-2$ (do $m\leq 0$)
Vây.........
a) Thay m=-3 vào phương trình, ta được:
\(x^2-6x+\left(-3\right)^2+\left(-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-6x+6=0\)
\(\Delta=\left(-6\right)^2-4\cdot6=36-24=12\)
Vì Δ>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{6-2\sqrt{3}}{2}=3-\sqrt{3}\\x_2=\dfrac{6+2\sqrt{3}}{2}=3+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Cho phương trình \(x^2-2x+m-1=0\) (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn hệ thức \(x_1^4-x_1^3=x_2^4-x_2^3\)
\(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(m-1\right)=1-m+1=2-m\)
Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow2-m\ge0\Leftrightarrow m\le2\)
Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
\(x^4_1-x^3_1=x^4_2-x^3_2\\ \Leftrightarrow\left(x^4_1-x_2^4\right)-\left(x^3_1+x^3_2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2_1-x^2_2\right)\left(x^2_1+x^2_2\right)-\left(x_1+x_2\right)\left(x^2_1+x^2_2-x_1x_2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]=0\\ \Leftrightarrow\left(m-1\right).2\left[2^2-2\left(m-1\right)\right]-2\left[2^2-3\left(m-1\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)\left(4-2m+2\right)-2\left(4-3m+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)\left(6-2m\right)-2\left(7-3m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow...\)
\(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(m-1\right)=1-m+1=2-m\)
Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow2-m\ge0\Leftrightarrow m\le2\)
Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
\(x^4_1-x^3_1=x^4_2-x^3_2\\ \Leftrightarrow\left(x^4_1-x_2^4\right)-\left(x^3_1-x^3_2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2_1-x^2_2\right)\left(x^2_1+x^2_2\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(x^2_1+x^2_2+x_1x_2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right).2\left(4-2m+2\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(4-m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right).2\left(6-2m\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(5-m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(12-4m-5+m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(7-3m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow...\)
1 . Cho pt :\(x^2-mx+m-1=0\) . Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và biểu thức \(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x^2_1+x^2_2+2\left(x_1x_2+1\right)}\) đạt GTLN
2.Giả sử m là giá trị để phương trình \(x^2-mx+m-2=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\dfrac{x_1^{^2}-2}{x_1-1}.\dfrac{x^2_2-2}{x_2-1}=4\) . Tìm các giá trị của m
1.
\(a+b+c=0\) nên pt luôn có 2 nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)
\(A=\dfrac{m^2+2-\left(m^2-2m+1\right)}{m^2+2}=1-\dfrac{\left(m-1\right)^2}{m^2+2}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=1\)
2.
\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{\left(x_1^2-2\right)\left(x_2^2-2\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=4\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1^2+x_2^2\right)+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(m-2\right)^2-2m^2+4\left(m-2\right)+4}{m-2-m+1}=4\)
\(\Rightarrow-m^2=-4\Rightarrow m=\pm2\)
Cho phương trình x2-2mx+m-4=0 (1) (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn \(x_1+x_2=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x^2_2}{x_1}\)
a) Tam thức bậc hai có \(\Delta'=m^2-m+4=m^2-2.\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+4=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\).
Suy ra phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
b) Theo Vi-et ta có:
\(x_1+x_2=2m,x_1.x_2=m-4\)
Điều kiển để \(x_1+x_2=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2=\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1x_2}\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2=\frac{\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}\)
\(\Leftrightarrow2m=\frac{\left(2m\right)^3-3\left(m-4\right).2m}{m-4}\)
\(\Leftrightarrow2m\left(m-4\right)=8m^3-6m^2+8m\) và \(m\ne4\)
\(\Leftrightarrow4m\left(2m^2-2m+3\right)=0\) và \(m\ne4\)
\(\Leftrightarrow m=0\)
Cho phương trình: \(x^2+2\left(m+1\right)x+m-4=0\) (m là tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) khi \(m=-5\)
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=-3\)
a: Thay m=-5 vào (1), ta được:
\(x^2+2\left(-5+1\right)x-5-4=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-8x-9=0\)
=>(x-9)(x+1)=0
=>x=9 hoặc x=-1
b: \(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\left(m-4\right)=4m^2+8m+4-4m+16=4m^2+4m+20>0\)
Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=-3\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=-3x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2+m-4=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+9m=0\)
=>m(4m+9)=0
=>m=0 hoặc m=-9/4
Cho phương trình \(x^2-\left(m+1\right)x+m=0\left(1\right)\)(với m là tham số)
a.Giải phương trình (1) khi m=-2
b.Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn:
(\(x^2_1-mx_1+x_2+2m\))\(\left(x^2_2-mx_2+x_1+2m\right)=9x_1x_2\)
a) Thay m=-2 vào phương trình, ta được:
\(x^2-\left(-x\right)-2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)
a=1; b=1; c=-2
Vì a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-2}{1}=-2\)