có tồn tại

Gọi giao điểm thứ hai của AH,BH,CH với đường tròn (O) thứ tự là D,E,F. Gọi OD cắt BC tại M, OE cắt CA tại N, OF cắt AB tại P.

Ta sẽ chứng minh 3 điểm M,N,P nói trên thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện của đề:

+) ĐK 1: MH + MO = NH + NO = PH + PO

Ta có: ^BDH = ^BDA = ^BCA = ^BHD => \(\Delta\)HBD cân tại B => BH = BD. Tương tự: CH = CD

Do đó: BC là trung trực của HD. Vì M thuộc BC nên MH = MD => MH + MO = MD + MO = OD = R

Chứng minh tương tự ta được: MH + NO = NH + NO = PH + PO = R (R là bán kính đường tròn (O)) (Thỏa mãn)

+) ĐK 2: AM,BN,CP đồng quy (Đặt 180⁰ - 2.^BAC = \(\alpha\); 180⁰ - 2.^ABC = \(\beta\); 180⁰ - 2.^ACB = \(\gamma\))

Đường tròn (O) có: ^BOD và ^BAD là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn (BD => ^BOD = 2.^BAD

Hay ^BOM = 2.(90⁰ - ^ABC) = 180⁰ - 2.^ABC. Tương tự: ^COM = 180⁰ - 2.^ACB

Áp dụng ĐL hàm Sin: \(\frac{BM}{CM}=\frac{\sin\widehat{BOM}}{\sin\widehat{COM}}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\)Tương tự: \(\frac{AP}{BP}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta};\frac{CN}{AN}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}\)

Từ đó: \(\frac{AP}{BP}.\frac{BM}{CM}.\frac{CN}{AN}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}.\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}=1\)

Theo điều kiện đủ của ĐL Céva thì 3 đường thẳng AM,BN,CP đồng quy (Thỏa mãn)

Vậy nên tồn tại 3 điểm M,N,P là 3 điểm thỏa mãn bài.

\(\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{S_{AEC}}{S_{MEC}}=\dfrac{S_{AEB}}{S_{MEB}}=\dfrac{S_{AEC}+S_{AEB}}{S_{BEC}}\)

\(\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{S_{AEN}}{S_{CEN}}=\dfrac{S_{ABN}}{S_{CBN}}=\dfrac{S_{ABN}-S_{AEN}}{S_{CBN}-S_{CEN}}=\dfrac{S_{AEB}}{S_{BEC}}\)

\(\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{S_{AEP}}{S_{BEP}}=\dfrac{S_{ACP}}{S_{BCP}}=\dfrac{S_{ACP}-S_{AEP}}{S_{BCP}-S_{BEP}}=\dfrac{S_{ACE}}{S_{BEC}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AN}{BN}+\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{S_{AEB}+S_{ACE}}{S_{BEC}}=\dfrac{AE}{EM}\)