bài này dùng delta mọi người giúp mình với

Giả sử không có BĐT nào sai, ta có: 

\(4\left(b+d\right)>a^2+c^2\ge2ac\)

Mà \(ac\ge2\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow4\left(b+d\right)>4\left(b+d\right)\) Vô lí

=> có ít nhất 1 bđt sai

Ta có :\(ac\ge2\left(b+d\right)\)\(\Leftrightarrow2ac\ge4\left(b+d\right)\)(1)

Giả sử hai bất đẳng thức \(a^2< 4b;c^2< 4d\)đều đúng , cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên ta đc

\(a^2+c^2< 4b+4d\Leftrightarrow a^2+c^2< 4\left(b+d\right)\)

Thay (1) vào bất đẳng thức trên ta đc:\(a^2+c^2< 2ac\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2-2ac+c^2< 0\) 

                                                                                              \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-c\right)^2< 0\)=> vô lí 

Vậy có ít nhất một trong 2 bất đẳng thức trên là sai.

\(\left\{{}\begin{matrix}ax^2+by+c=0\\cx^2+by+a=0\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}ax^2+by=-c\\cx^2+by=-a\end{matrix}\right.\)

vì pt có 1 nghiệm duy nhất

nên\(\dfrac{a}{c}\ne\dfrac{b}{b}\)⇔\(\dfrac{a}{c}\ne1\)⇔\(a\ne c\)

Mình nghĩ là sai đề
Cho pt \(ax^2+bx+c=0\) (1) và \(cx^2+bx+a=0\)  (2)

Lấy (1) trừ (2) ta được: \(\left(x^2-1\right)\left(a-c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)(vì a khác c)

TH1: Giả sử nghiệm chung của hai pt là x=1

Thay x=1 vào (1) và (2) được: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a+b+c=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow b=-a-c\)

Áp dụng hệ thức viet vào hai pt:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+1=-\dfrac{b}{a}\\x_2+1=-\dfrac{b}{c}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-\dfrac{b}{a}-1\\x_2=-\dfrac{b}{c}-1\end{matrix}\right.\)

Có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|>2\Leftrightarrow\left|-\dfrac{b}{a}-1\right|+\left|\dfrac{-b}{c}-1\right|>2\)

\(\Leftrightarrow\left|-\dfrac{-a-c}{a}-1\right|+\left|\dfrac{-\left(-a-c\right)}{c}-1\right|>2\)

\(\Leftrightarrow\left|\dfrac{c}{a}\right|+\left|\dfrac{a}{c}\right|>2\) \(\Leftrightarrow c^2+a^2>2\left|ac\right|\) (luôn đúng với mọi \(a\ne c\))
TH2: Giả sử x=-1 là nghiệm chung của hai pt

Thay x=-1 vào hai pt được: \(\left\{{}\begin{matrix}a-b+c=0\\c-b+a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow b=a+c\)

Áp dụng viet vào hai pt có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+\left(-1\right)=-\dfrac{b}{a}\\x_2+\left(-1\right)=-\dfrac{b}{c}\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=\left|-\dfrac{b}{a}+1\right|+\left|-\dfrac{b}{c}+1\right|\)

\(=\left|-\dfrac{a+c}{a}+1\right|+\left|-\dfrac{a+c}{c}+1\right|\)\(=\left|-\dfrac{c}{a}\right|+\left|-\dfrac{a}{c}\right|\)\(=\left|\dfrac{c}{a}\right|+\left|\dfrac{a}{c}\right|=\dfrac{c^2+a^2}{\left|ac\right|}>\dfrac{2\left|ac\right|}{\left|ac\right|}=2\)
Vậy...
 

Đặt \(f\left(x\right)=ax^{3\:}+bx^2+cx+d\left(a\ne0\right)\)

Nếu \(a< 0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=+\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=-\infty\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(-\infty;+\infty\right)\), với \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm

Nếu \(a>0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm

Lời giải:

Giả sử cả 2 pt trên đều không có nghiệm.

Khi đó:

\(\left\{\begin{matrix} \Delta_1=a^2-4b< 0\\ \Delta_2=c^2-4d< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+c^2< 4(b+d)\)

Kết hợp với đk: \(ac\geq 2(b+d)\Rightarrow 2ac> a^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+c^2-2ca< 0\Leftrightarrow (a-c)^2< 0\) (vô lý)

Do đó điều giả sử là sai.

Tức là ít nhất 1 trong 2 pt trên phải có nghiệm.