Cho các số nguyên a, b, c, d \(\ne\)0 thỏa mãn: \(ab=cd\) . CMR:
\(a^{2018}+b^{2018}+c^{2018}+d^{2018}\) là hợp số.
Bài 1. Cho các số a, b thỏa mãn \(a^2+b^2=ab+3\left(a+b\right)\)Tính giá trị \(\left(a-2\right)^{2018}+\left(b-2\right)^{2019}\)
Bài 2.Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn \(x^2+2y^2< 2xy+4y-3\)
1. Cho \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\).Chứng minh rằng \(A< \frac{3}{4}\)
2. Cho \(A=\frac{50}{111}+\frac{50}{112}+\frac{50}{113}+\frac{50}{114}\). Chứng tỏ \(1< A< 2\)
3.a) Cho các số nguyên dương \(x\)và \(y\).Biết rằng \(x\)và\(y\)là 2 số nguyên tố cùng nhau:
Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b}=\frac{x.\left(2017.x+y\right)}{2018.x+y}\)là phân số tối giản
b) Cho A =\(\frac{2018^{100}+2018^{96}+...+2018^4+1}{2018^{102}+2018^{100}+...+2018^2+1}\). Chứng minh rằng \(4.A< \left(0,1\right)^6\)
4. Cho \(A=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{81}+\frac{1}{100}\). Chứng tỏ rằng \(A>\frac{65}{132}\)
5.Chứng minh rằng \(A=\frac{100^{2016}+8}{9}\)là số tự nhiên
6. Chứng tỏ rằng phân số có dạng \(\frac{3a+4}{2a+3}\)là phân số tối giản
7. Tìm \(x\inℤ\)sao cho \(x-5\)là bội của \(x+2\)
8.Cho \(a,b,c,d\inℕ^∗\)thỏa mãn \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\). Chứng minh rằng \(\frac{2018.a+c}{2018.b+d}< \frac{c}{d}\)
9.Cho S=\(\frac{5}{2^2}+\frac{5}{3^2}+\frac{5}{4^2}+...+\frac{5}{100^2}\). Chứng tỏ rằng \(2< S< 5\)
10. Cho 2018 số tự nhiên là \(a1;a2;...;a2018\)đều là các số lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a1^2}+\frac{1}{a2^2}+\frac{1}{a3^2}+...+\frac{1}{a2018^2}=1\). Chứng minh rằng trong 2018 số này ít nhất sẽ có 2 số bằng nhau
Ô...mai..gót
Thế này ko ai giải cho bn đâu vì họ ko dại gì làm tất cả chỉ để lấy cái T.I.C.K
Hãy đăng từng câu một
Ai đồng quan điểm
Bạn lấy mấy bài này từ mấy cái đề học sinh giỏi vậy ?
Nhưng ai biết câu nào thì làm câu đấy mình đâu bắt các bạn làm hết đâu
(chuyên Thanh Hóa 2018 )
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn biểu thức \(\hept{\begin{cases}a^3-3a^2+5a-17=0\\b^3-3b^2+5b+11=0\end{cases}}\)
Chứng minh rằng a+b=2
Bạn xem lại đề nhé :
Phương trình \(b^3-3b^2+5b+11=0\)không có nghiệm dương nhé
\(VT=b\left(b-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}b+11>0\forall b>0\)
Thử nha, sai thì chịu@@
Giả sử a + b khác 2 khi đó. Cộng theo vế hai pt trên cho nhau:
\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-3\left(a^2+b^2\right)+5\left(a+b\right)=6\) (1)
\(VT=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2+5\right)-3\left(a^2+b^2\right)\)
\(\ne2\left(a^2-ab+b^2+5\right)-3\left(a^2+b^2\right)\)
\(=-2ab+10-a^2-b^2=-\left(a+b\right)^2+10\)
Theo (1) thì\(-\left(a+b\right)^2+10=6\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b=2\\a+b=-2\left(\text{Loại do a, b dương}\right)\end{cases}}\).
Do đó a + b = 2, nhưng điều này trái với điều giả sử => điều giả sử sai => đpcm
Chuyên Quảng Ngãi 2018
Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\)
Chứng minh rằng \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=1\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\left(1\right)\)
Lại có:\(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2=-a\\b^2-c^2=-b\\c^2-a^2=-c\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right).\left(a+b\right)=-a\\\left(b-c\right).\left(b+c\right)=-b\\\left(c-a\right).\left(c+a\right)=-c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)=-\frac{a}{a+b}\\\left(b-c\right)=-\frac{b}{b+c}\\\left(c-a\right)=-\frac{c}{a+c}\end{cases}}\)
Từ (1) \(\Rightarrow\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(c-a\right)=-\left(\frac{a}{a+b}\cdot\frac{b}{b+c}\cdot\frac{c}{a+c}\right)=\frac{-abc}{-c.\left(-a\right).\left(-b\right)}=1\)
Cho các số x,y,z thỏa mãn : x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx và x^2018 +y^2018+z^2018=3. Tính giá trị của biểu thức P=x^28+y^57+z^2017
Gọi S là tập hợp các số nguyên m trong khoảng (-2018; 2018) để đồ thị hàm số y = x 3 - 3 m x 2 + x - 3 m 2 cắt đường thẳng y = x + 1 tại ba điểm phân biệt. Tính số phần tử của S
A. 2016
B. 2018
C. 4034
D. 2020
Cho a/b =c/d (b,d ≠ 0, b≠ d) . CM: a2018 + c2018/ b2018 + d2018 = (a+c)2018 / (b+d)2018
Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn a2+c2=b2+d2.CM:a+b+c+d là hợp số
Xét : \(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+\left(a+b+c+d\right)\)
\(=\left(a^2+a\right)+\left(b^2+b\right)+\left(c^2+c\right)+\left(d^2+d\right)\)
\(=a.\left(a+1\right)+b.\left(b+1\right)+c.\left(c+1\right)+d.\left(d+1\right)\)
Ta có : \(a.\left(a+1\right)\) \(\vdots\) \(2\) \(;\) \(b.\left(b+1\right)\) \(\vdots\) \(2\) \(;\) \(c.\left(c+1\right)\) \(\vdots\) \(2\) \(;\) \(d.\left(d+1\right)\) \(\vdots\) \(2\)
\(\implies\) \(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+\left(a+b+c+d\right)\) \(\vdots\) \(2\)
Mà \(a^2+b^2+c^2+d^2=2.\left(b^2+d^2\right)\) \(\vdots\) \(2\)
\(\implies\) \(a+b+c+d\) \(\vdots\) \(2\)
Mà \(a^2+b^2+c^2+d^2\) \(\geq\) \(4\) \(\implies\) \(a+b+c+d\) là hợp số \(\left(đpcm\right)\)
mấy phần bị thiếu kia cậu ghi cho tớ là chia hết cho nhé
cho ba chữ số a,b,c thỏa mãn 0<a<b<c .Gọi A là tập hợp các số có ba chữ số , mỗi số gồm cả ba chữ số a,b,c. Biết rằng tổng của hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488 . Khi đó a+b+c =