\(x^2-6x+y^2-10y=27\)

\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-10y+25=27+9+25\)

\(=\left(x-3\right)^2+\left(y-5\right)^2=36+25\)

TH1 : \(\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^2=36\\\left(y-5\right)^2=25\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-3=6\\y-5=5\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=9\\y=10\end{cases}}}\)

TH2 : \(\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^2=25\\\left(y-5\right)^2=36\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-3=5\\y-5=6\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=8\\y=11\end{cases}}}\)

Vậy có hai cặp x ,y nguyên dương thỏa mãn điều kiện là \(\hept{\begin{cases}x=9\\y=10\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}x=8\\y=11\end{cases}}\)

\(x^2-6x+y^2-10y=27\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+\left(y-5\right)^2=61=5^2+6^2\)

Do x,y nguyên dương\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x-3=5\\y-5=6\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x-3=6\\y-5=5\end{cases}}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x=8\\y=11\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x=9\\y=10\end{cases}}\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x-3=5\\y-5=6\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x-3=6\\y-5=5\end{cases}}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x=8\\y=11\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x=9\\y=10\end{cases}}\end{cases}}}\) \(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x-3=5\\y-5=6\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=11\end{cases}}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x-3=6\\y-5=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=9\\y=10\end{cases}}}\)

\(4x^2+4x+y^2-6y=24\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x+1\right)+\left(y^2-6y+9\right)=34\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=34=3^2+5^2\)

\(TH1:\hept{\begin{cases}\left(2x+1\right)^2=3^2\\\left(y-3\right)^2=5^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=8\end{cases}}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}\left(2x+1\right)^2=5^2\\\left(y-3\right)^2=3^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\end{cases}}\)

Vay.....

\(4x^2+4x+y^2-6y=24\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+y^2-6y-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x+1\right)+\left(y^2-6y+9\right)-34=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=34\)

Mà \(34=3^2+5^2=\left(-3\right)^2+\left(-5\right)^2\)

Vì là nghiệm nguyên dương nên:

\(\left(2x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=3^2+5^2\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}\\\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}\\\end{cases}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x+1=3\\y-3=5\end{cases}}\)hoặc     \(\orbr{\begin{cases}2x+1=5\\y-3=3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x=2\\y=8\end{cases}}\)         hoặc     \(\orbr{\begin{cases}2x=4\\y=6\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\y=8\end{cases}}\)           hoặc      \(\orbr{\begin{cases}x=2\\y=6\end{cases}}\)

Vậy các cặp số (x;y) là: (1;8);(2;6)

=>xy^2(xy-x^2-5)=-27

x,y là số nguyên dương thì \(x,y^2\inƯ\left(-27\right)\)

=>\(x,y^2\in\left\{1;3;9;27\right\}\)

y^2=1 thì y=1

y^2=9 thì y=3

Khi y=1 thì x*(x-x^2-5)=-27

=>Loại

Khi y=3 thì 9x(3x-x^2-5)=-27

=>x=1