Cho ba số a,b,c thỏa mãn a×b×c=1CMR 1/ab+a+1 + 1/bc+b+1 + 1/abc+bc+b =1
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ac<=1
CMR: \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}\)
\(ab+bc+ca\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+1}\ge\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}\)
\(tương\) \(tự\Rightarrow\Sigma\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}}{2}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
9 tháng 9 2021 lúc 14:03
Cho các số thực dương a,b,c thỏa a+b+c=1
CMR: \(\dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}\ge\dfrac{9}{10}\)
help me pls!!
\(VT=\dfrac{a^2}{a+abc}+\dfrac{b^2}{b+abc}+\dfrac{c^2}{c+abc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3abc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3}=\dfrac{1^2}{1+\dfrac{1}{9}.1^3}=\dfrac{9}{10}\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho a,b,c thỏa mãn abc=1.Chứng minh:1/ab+a+1 + 1/bc+b+1 + 1/abc+bc+b = 1
Cho ba số a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1
CM: \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\) ≤ 2
Vì: \(0\le a\le b\le c\le1\) nên:
\(\left(a-1\right).\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab-a-b+1\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{ab+1}\le\dfrac{1}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{c}{a+b}\) (1)
\(\left(a-1\right).\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow ac-a-c+1\ge0\Leftrightarrow ac+1\ge a+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{ac+1}\le\dfrac{1}{a+c}\Leftrightarrow\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{b}{a+c}\) (2)
\(\left(b-1\right).\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc-b-c+1\ge0\Leftrightarrow bc+1\ge b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{bc+1}\le\dfrac{1}{b+c}\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{a}{b+c}\) (3)
Cộng vế với vế của (1)(2) và (3) ta được:
\(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ac+1}\le2\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho ba số thực dương a b c thỏa mãn ab+bc+ac≤1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết:
P= \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2-abc}}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+c^2-abc}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+b^2-abc}}\)
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn ��≥12;��≥8ab≥12;bc≥8. Chứng mình rằng:left(a+b+cright)+2.left(dfrac{1}{ab}+dfrac{1}{bc}+dfrac{1}{ca}right)+dfrac{8}{abc}gedfrac{121}{12}
Đọc tiếp
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn . Chứng mình rằng:
\(\left(a+b+c\right)+2.\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+\dfrac{8}{abc}\ge\dfrac{121}{12}\)
Tách biểu thức như sau:
\(\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{12}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{8}{abc}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{b}{24}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{b}{16}+\dfrac{c}{8}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{2}{ca}\right)+\left(\dfrac{13a}{18}+\dfrac{13b}{24}\right)+\left(\dfrac{13b}{48}+\dfrac{13c}{24}\right)\)
Đúng 2
Bình luận (3)
(Nháp)\(a+2b+3c=20\)Với các tham số \(0< x,y,z< 1\) ta có:\(A=a+b+c+\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}\)\(=xa+yb+zc+\left(\dfrac{3}{a}+\left(1-x\right)a\right)+\left(\dfrac{9}{2b}+\left(1-y\right)b\right)+\left(\dfrac{4}{c}+\left(1-z\right)c\right)\)\(\ge^{Cauchy}xa+yb+zc+2\left(\sqrt{3\left(1-x\right)}+\sqrt{\dfrac{9\left(1-y\right)}{2}}+\sqrt{4\left(1-z\right)}\right)\)Chọn các tham số x,y,z (0<x,y,z<1) sao cho:\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}\\\dfrac{3}{a}=\left(1-x\right)a\\\dfrac{9}{2b}=\left(1-y\right)b\\\dfrac{4}{c}=\left(1-z\right)c\end{matrix}\right.\) và \(a+2b+3c=20\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x;z=3x\\a=\sqrt{\dfrac{3}{1-x}}\\b=\sqrt{\dfrac{9}{2\left(1-y\right)}}\\c=\sqrt{\dfrac{4}{1-z}}\end{matrix}\right.\) và \(a+2b+3c=20\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x;z=3x\\a=\sqrt{\dfrac{3}{1-x}}\\b=\sqrt{\dfrac{9}{2\left(1-2x\right)}}\\c=\sqrt{\dfrac{4}{1-3x}}\end{matrix}\right.\) và \(a+2b+3c=20\)\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{3}{1-x}}+2\sqrt{\dfrac{9}{2\left(1-2x\right)}}+3\sqrt{\dfrac{4}{1-3x}}=20\)Bấm máy ta được \(x=\dfrac{1}{4}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2};z=\dfrac{3}{4}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{\dfrac{3}{1-\dfrac{1}{4}}}=2\\b=\sqrt{\dfrac{9}{2\left(1-2.\dfrac{1}{4}\right)}}=3\\c=\sqrt{\dfrac{4}{1-3.\dfrac{1}{4}}}=4\end{matrix}\right.\)
Đúng 2
Bình luận (1)
Cho ba số a,b,c thỏa mãn abc=2000
Tính A=2000a/ ab+2000a+2000 + b/bc+b+2000 + c/ ac+c+1
Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn abc khác 1 và -1 và (ab+1)/b+(bc+1)/c+(ca+1)/a. cm a=b=c
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ac=3abc. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\dfrac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\dfrac{ca}{c+a+1}}\ge\sqrt{3}\)