a² + b² + c² = ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )²

<=> a² + b² + c² = a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a²

<=> a² + b² + c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0 ( bớt a² + b² + c² ở cả hai vế )

<=> a² + b² + c² - 2( ab + bc + ca ) = 0

<=> a² + b² + c² - 2.9 = 0

<=> a² + b² + c² - 18 = 0

<=> a² + b² + c² = 18

Xét ( a + b + c )² ta có :

( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca 

                     = ( a² + b² + c² ) + 2( ab + bc + ca )

                     = 18 + 2.9

                     = 18 + 18 = 36

=> ( a + b + c )² = 36

=> a + b + c = 6 ( do a, b, c là các số dương )

                 \(a^2+b^2+c^2=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=18\)   ( do ab+bc+ca = 9 )

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=18+2.9=36\)

\(\Rightarrow\)\(a+b+c=6\)   ( do a,b,c là các số thực dương)

\(a^2+b^2+c^2=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

\(a^2+b^2+c^2=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\)

\(a^2+b^2+c^2-2.\left(ab+bc+ca\right)=0\)( cùng bớt \(a^2+b^2+c^2\)ở cả 2 vế )

\(a^2+b^2+c^2-2.9=0\)

\(a^2+b^2+c^2=18\)

Ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2\)

\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(=18+2.\left(ab+bc+ca\right)\)

\(=18+2.9\)

\(=18+18\)

\(=36\)

\(\Rightarrow a+b+c=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{36}=6\)

Vậy \(a+b+c=6\)

Tham khảo nhé~

a² + b² + c² = ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )²

<=> a² + b² + c² = a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a²

<=> a² + b² + c² = 2( a² + b² + c² ) - 2( ab + bc + ca )

<=> a² + b² + c² - 2( ab + bc + ca ) = 0 ( bớt a² + b² + c² ở cả hai vế )

<=> a² + b² + c² - 2.9 = 0 ( theo gt ab + bc + ca = 9 )

<=> a² + b² + c² - 18 = 0

<=> a² + b² + c² = 18

Ta có : ( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca ( HĐT này bạn tự chứng minh )

                                 = ( a² + b² + c² ) + 2( ab + bc + ca )

                                 = 18 + 2.9 ( do a² + b² + c² = 18 và gt ab + bc + ca = 9 )

                                 = 18 + 18 = 36

=> ( a + b + c )² = 36

=> a + b + c = 6 ( do a, b,  c là các số thực dương )

Lời giải:

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow \frac{abc}{c(a+b)}=\frac{abc}{a(b+c)}=\frac{bca}{b(c+a)}\)

\(\Leftrightarrow c(a+b)=a(b+c)=b(c+a)\)

\(\Leftrightarrow ac+bc=ab+ac=bc+ab\Leftrightarrow ab=bc=ac\)

\(\Rightarrow a=b=c\) (do $a,b,c>0$)

$\Rightarrow M=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1$

\(a^2+ab+b^2=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)

Tương tự, ta có:

\(M\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(c+a\right)=\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:

$a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2b^2}=2|ab|\geq 2ab$

$b^2+c^2\geq 2bc$

$c^2+a^2\geq 2ac$

Cộng theo vế các BĐT trên ta được:

$2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2=27$

Vậy GTLN của $P$ là $27$
 

áp dụng bất đẳng thức phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)≥\(\dfrac{4}{a+b}\)<=>(a-b)²≥0 (luôn đúng)
Ta có P≥\(\dfrac{\left(3+\sqrt{2}\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)=(3+\(\sqrt{2}\))²
Dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/3