*Hình vẽ tay hơi xấu thông cảm

a, Ta có: \(\frac{DE}{DH}=\frac{CK}{BC}\Rightarrow\frac{DE}{CK}=\frac{DH}{BC}\left(1\right)\)

Gọi giao điểm của AC và BD là O.

=> OA = OB = OC = OD

=> ∆OBC cân tại O

=> ^OCB = ^OBC hay ^ACB = ^OBC

Xét ∆AHD và ∆ABC có:

^AHD = ^ABC

^ADH = ^ACB ( = ^OBC)

=> ∆AHD ~ ∆ABC (g-g)

=> \(\frac{AD}{AC}=\frac{DH}{BC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{DH}\)

Xét ∆ADE và ∆ACK có:

\(\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{DH}\)(cmt)

^ADE = ^ACK ( vì ^ADH = ^ACB)

=> ∆ADE ~ ∆ACK (c-g-c)

b, Theo câu a, ∆ADE ~ ∆ACK

=>\(\hept{\begin{cases}\widehat{DAE}=\widehat{CAK}\Rightarrow\widehat{DAE}+\widehat{EAC}=\widehat{CAK}+\widehat{EAC}\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{EAK}\\\frac{AE}{AK}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AK}{AC}\end{cases}}\)

=> ∆AEK ~ ∆ADC (c-g-c)

a) Xét ΔACB vuông tại B và ΔDBC vuông tại C có

AC=DB(hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD)

BC chung

Do đó: ΔACB=ΔDBC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒ΔACB∼ΔDBC(hai tam giác bằng nhau là hai tam giác đồng dạng)(1)

Xét ΔDBC vuông tại C và ΔADH vuông tại H có

\(\widehat{DBC}=\widehat{ADH}\)(hai góc so le trong, AD//BC)

Do đó: ΔDBC∼ΔADH(góc nhọn)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔACB∼ΔADH

⇒\(\frac{BC}{DH}=\frac{AC}{AD}\)

⇒\(\frac{DH}{BC}=\frac{AD}{AC}\)(3)

Ta có: \(\frac{DE}{DH}=\frac{CK}{CB}\)

⇒\(\frac{DE}{CK}=\frac{DH}{BC}\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CK}\)

Xét ΔADB vuông tại A và ΔBCA vuông tại B có

BD=AC(hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD)

AD=BC(hai cạnh đối của hình chữ nhật ABCD)

Do đó: ΔADB=ΔBCA(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒\(\widehat{ADB}=\widehat{BCA}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{ADE}=\widehat{ACK}\)

Xét ΔADE và ΔACK có

\(\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CK}\)(cmt)

\(\widehat{ADE}=\widehat{ACK}\)(cmt)

Do đó: ΔADE∼ΔACK(c-g-c)

Lời giải:

a) Xét tam giác $ADH$ và $ACB$ có:

$\widehat{ADH}=\widehat{ACB}$ (do tính chất hcn)

$\widehat{AHD}=\widehat{ABC}=90^0$

$\Rightarrow \triangle ADH\sim \triangle ACB$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{DH}{CB}=\frac{DE}{CK}$

$\Rightarrow \triangle ADE\sim \triangle ACK$ (c.g.c)

b) 

Từ tam giác đồng dạng phần a suy ra:

- $\widehat{DAE}=\widehat{CAK}$ (1)

$\Rightarrow \widehat{DAE}+\widehat{EAC}=\widehat{CAK}+\widehat{EAC}$

Hay $\widehat{DAC}=\widehat{EAK}$

- $\frac{AE}{AD}=\frac{AK}{AC}$ (2)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \triangle AEK\sim \triangle ADC$ (c.g.c)

c) 

$\Rightarrow \widehat{AEK}=\widehat{ADC}=90^0$ (đpcm)

Hình vẽ:

Hình vẽ: