Ta có: \(M=3^{2012}-3^{2011}+3^{2010}-3^{2009}\)

\(=\left(3^{2012}+3^{2010}\right)-\left(3^{2011}+3^{2009}\right)\)

\(=3^{2010}\cdot\left(3^2+1\right)-3^{2009}\left(3^2+1\right)\)

\(=\left(3^2+1\right)\cdot\left(3^{2010}-3^{2009}\right)\)

\(=10\cdot3^{2009}\cdot\left(3-1\right)⋮10\)(đpcm)

Hiển nhiên \(P=4^{2010}+2^{2014}⋮2\). Ta chỉ cần chứng minh \(P⋮5\) là xong.

Trước hết ta chứng minh \(A=4^{2n}-1⋮5\), với mọi \(n\inℕ\)     (*)

 Với \(n=0\) thì \(A=0⋮5\). Với \(n=1\) thì \(A=15⋮5\).

 Giả sử (*) đúng đến \(n=k\). Với \(n=k+1\), ta có:

 \(A=4^{2\left(k+1\right)}-1\) \(=16.4^{2k}-1\) \(=16\left(4^{2k}-1\right)+15⋮5\), vậy (*) được chứng minh. Do đó \(4^{2010}-1⋮5\)              (1)

 Bây giờ ta sẽ chứng minh \(B=2^{4n+2}+1⋮5\) với mọi \(n\inℕ\).     (**)

 Với \(n=0\) thì \(B=5⋮5\). Với \(n=1\) thì \(B=65⋮5\).

 Giả sử (**) đúng đến \(n=k\). Với \(n=k+1\)  thì

 \(B=2^{4\left(k+1\right)+2}+1\) \(=16.2^{4k+2}+1\) \(=16\left(2^{4k+2}+1\right)-15⋮5\)

 Vậy (**) được chứng minh. Do đó \(2^{2014}+1⋮5\)         (2)

 Từ (1) và (2), suy ra \(P=4^{2010}+2^{2014}=\left(4^{2010}-1\right)+\left(2^{2014}+1\right)⋮5\)

 Như vậy \(2|P,5|P\Rightarrow10|P\) (đpcm)

Hình như là không

Quá dài nên có thể lẫn lộn

Cách đơn giản hơn

Ta có:

4¹=4

4²=16

4³=64

4⁴=256

...

=>Số 4 mũ lẽ tận cùng = 4. Số 4 mũ chẵn tận cùng = 6

Áp dụng vào 4²⁰¹⁰ ta có:

4²⁰¹⁰ có mũ là số chẵn

=> 4²⁰¹⁰  tận cùng là số 6

Tương tự áp dụng vào 2²⁰¹⁴ :

Ta có: 

2¹= 2

2² = 4

2³ = 8 

2⁴ =16

2⁵= 32

2⁶ = 64

...

=> Số tận cùng của kết quả theo chu kì 2, 4, 8, 6.

Ta có: 2014 : 4 = 503 (dư 2)

Vậy theo chu kì thì 2²⁰¹⁴ tận cùng bằng số 4

Ta có:

4²⁰¹⁰ tận cùng = 6

2²⁰¹⁴ tận cùng = 4

Tận cùng 2 thừa số này cộng lại ra 10

=> 4²⁰¹⁰ + 2²⁰¹⁴ có tận cùng là số 0

=> 4²⁰¹⁰ + 2²⁰¹⁴ chia hết cho 10

Chúc bạn hok tốt!

#TTVN

Tổng trên = (31+32012).[(32012-31:1+1] : 2 = 32043 . 31982 : 2 = 42043 . 15991 lẻ

=> tổng trên ko chia hết cho 120

k mk nha

đề sai 

Tổng trên có ​31982 số hạng

​Nên tổng trên bằng:(32012+31).31982/2

​=32043.15991 là số lẻ ko chia hết cho 120

​Tk mình nha bn !

A = (4²⁰¹⁰ + 2²⁰¹⁴) ⋮ 10

4²⁰¹⁰  = (4²)¹⁰⁰⁵

4²⁰¹⁰ =  \(\overline{...6}\)¹⁰⁰⁵ = \(\overline{..6}\)   ⁽¹⁾

2²⁰¹⁴ = (2⁵⁰³)⁴.2² =  \(\overline{..6}\)⁴.4

2²⁰¹⁴ = \(\overline{..6}\).4 = \(\overline{..4}\)   ⁽²⁾

Cộng vế với vế của biểu thức (1) và (2) ta có:

A = 4²⁰¹⁰ + 2²⁰¹⁴ = \(\overline{..6}\) + \(\overline{..4}\) = \(\overline{..0}\)  ⋮ 10 (đpcm)

tích tao nhé ahihi

không chia hết cho 120 vì tổng trên là số lẻ nên không chia hết cho một số chẵn

còn 1 cách nào khác hok bạn? mik hok hỉu một chút

xam xi

 a) Ta thấy \(999993^{1999}⋮̸5\) và \(55555^{1997}⋮5\) nên \(999993^{1999}-55555^{1997}⋮̸5\), mâu thuẫn đề bài.

 b) 

Ta có \(17^{25}=17^{4.6+1}=17.\left(17^4\right)^6=17.\overline{A1}=\overline{B7}\) có chữ số tận cùng là 7. \(13^{21}=13^{4.5+1}=13.\left(13^4\right)^5=13.\overline{C1}=\overline{D3}\) có chữ số tận cùng là 3. \(24^4=4^4.6^4=\overline{E6}.\overline{F6}=\overline{G6}\) có chữ số tận cùng là 6 nên \(17^{25}-13^{21}+24^4\) có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của \(7-3+6=10\) hay là 0. Vậy \(17^{25}-13^{21}+24^4⋮10\)

c) Cách làm tương tự câu b.