Hình như điều kiện là a, b, c, d khác 1 mới đúng

\(\left\{{}\begin{matrix}ac-a-c=b^2-2b\\bd-b-d=c^2-2c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac-a-c+1=b^2-2b+1\\bd-b-d+1=c^2-2c+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(c-1\right)=\left(b-1\right)^2\\\left(b-1\right)\left(d-1\right)=\left(c-1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(c-1\right)=\left(b-1\right)^2\left(1\right)\\\left(c-1\right)^2=\left(b-1\right)\left(d-1\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Do a, b, c, d khác 1 nên lấy (2) : (1) vế theo vế ta được

\(\Rightarrow\dfrac{c-1}{a-1}=\dfrac{d-1}{b-1}\)

\(\Rightarrow\left(c-1\right)\left(b-1\right)=\left(a-1\right)\left(d-1\right)\)

\(\Leftrightarrow bc-b-c+1=ad-a-d+1\)

\(\Leftrightarrow ad+b+c=bc+a+d\) (ĐPCM)

P/S: Nếu đk không phải là a, b, c, d khác 1 thì xét a,b,c,d bằng 1 thì dễ suy ra đpcm, sau đó xét a,b,c,d khác 1 thì giải như trên

k phải toán violympic

Câu c với f là mình sửa lại nhé, chắc gõ nhầm :v

Bài 1:

a, ab + ac

= a(b + c)

b, ab - ac + a

= a(b - c + 1)

c, ax - b - (x + ax)

= ax - b - x - ax

= -b - x

= -1(b + x)

d, a(b + c) - d(b + c)

= (b + c)(a - d)

e, ac - ad + bc - bd

= a(c - d) + b(c - d)

= (c - d)(a + b)

f, ax + by + bx + ay

= a(x + y) + b(x + y)

= (x + y)(a + b)

Bài 2:

a, n + 7 \(⋮\) n + 2 (n \(\ne\) -2)

n + 2 + 5 \(⋮\) n + 2

Mà n + 2 \(⋮\) n + 2

\(\Rightarrow\) 5 \(⋮\) n + 2

\(\Rightarrow\) n + 2 \(\in\) Ư₍₅₎ = {-1; 1; -5; 5}

Xét các TH:

n + 2 = -1 \(\Rightarrow\) n = -3 (TM)

n + 2 = 1 \(\Rightarrow\) n = -1 (TM)

n + 2 = -5 \(\Rightarrow\) n = -7 (TM)

n + 2 = 5 \(\Rightarrow\) n = 3 (TM)

Vậy n \(\in\) {-3; -1; -7; 3}

b, 9 - n \(⋮\) n - 3 (n \(\ne\) 3)

6 - (n - 3) \(⋮\) n - 3

Mà n - 3 \(⋮\) n - 3

\(\Rightarrow\) 6 \(⋮\) n - 3

\(\Rightarrow\) n - 3 \(\in\) Ư₍₆₎ = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6}

Xét các TH:

n - 3 = 1 \(\Rightarrow\) n = 4 (TM)

n - 3 = -1 \(\Rightarrow\) n = 2 (TM)

n - 3 = 2 \(\Rightarrow\) n = 5 (TM)

n - 3 = -2 \(\Rightarrow\) n = 1 (TM)

n - 3 = 3 \(\Rightarrow\) n = 6 (TM)

n - 3 = -3 \(\Rightarrow\) n = 0 (TM)

n - 3 = 6 \(\Rightarrow\) n = 9 (TM)

n - 3 = -6 \(\Rightarrow\) n = -3 (TM)

Vậy n \(\in\) {4; 2; 5; 1; 6; 0; 9; -3}

c, 2n + 7 \(⋮\) n + 1 (n \(\ne\) -1)

2n + 2 + 5 \(⋮\) n + 1

2(n + 1) + 5 \(⋮\) n + 1

Ta có: n + 1 \(⋮\) n + 1 nên 2(n + 1) \(⋮\) n + 1

\(\Rightarrow\) 5 \(⋮\) n + 1

\(\Rightarrow\) n + 1 \(\in\) Ư₍₅₎ = {1; -1; 5; -5}

Xét 4 TH:

n + 1 = -1 \(\Rightarrow\) n = -2 (TM)

n + 1 = 1 \(\Rightarrow\) n = 0 (TM)

n + 1 = -5 \(\Rightarrow\) n = -6 (TM)

n + 1 = 5 \(\Rightarrow\) n = 4 (TM)

Vậy n \(\in\) {-2; 0; -6; 4}

d, 3n + 7 \(⋮\) 2n + 1 (n \(\ne\) \(\frac{-1}{2}\))

Vì 3n + 7 \(⋮\) 2n + 1 nên 2(3n + 7) \(⋮\) 2n + 1 hay 6n + 14 \(⋮\) 2n + 1

Ta có: 6n + 14 \(⋮\) 2n + 1

6n + 3 + 11 \(⋮\) 2n + 1

3(2n + 1) + 11 \(⋮\) 2n + 1

Ta có 2n + 1 \(⋮\) 2n + 1 nên 3(2n + 1) \(⋮\) 2n + 1

\(\Rightarrow\) 11 \(⋮\) 2n + 1

\(\Rightarrow\) 2n + 1 \(\in\) Ư₍₁₁₎ = {1; -1; 11; -11}

Xét 4 TH:

2n + 1 = 1 \(\Rightarrow\) 2n = 0 \(\Rightarrow\) n = 0 (TM)

2n + 1 = -1 \(\Rightarrow\) 2n = -2 \(\Rightarrow\) n = -1 (TM)

2n + 1 = 11 \(\Rightarrow\) 2n = 10 \(\Rightarrow\) n = 5 (TM)

2n + 1 = -11 \(\Rightarrow\) 2n = -12 \(\Rightarrow\) n = -6 (TM)

Vậy n \(\in\) {0; -1; 5; -6}

Chúc bn học tốt (Dài quá, làm mãi mới hết :v)

Cách 1 :

Từ a/b = c/d => a/c = b/d ( tính chất tỉ lệ thức )

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a/c = b/d = a+b/a-b = a-b/c-d => a+b/a-b = c+d/c-d ( tính chất tỉ lệ thức )

Vậy a+b/a-b = c+d/c-d

Cách 2:

Đặt : a/b = c/d = k

a/b = k => a= bk

c/d = k => c=dk

a+b/a-b = bk+b/ bk-b = b(k+1)/b(k-1) = k+1/k-1. (1)

c+d/c-d = dk+d/dk-d = d(k+1)/d(k-1) + k+1/k-1. (2)

Từ (1) và (2) suy ra a+b/a-b = c+d/c-d.

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}.\dfrac{a+c}{b+d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{\left(a+c\right)^2}{\left(b+d\right)^2}\) \(\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt!

mk hoa mắt quá

a: Vì OA=OC

và A,O,C thẳng hàng

nên O là trung điểm của AC

b: AC=AO+OC=1+1=2cm

BD=BO+OD=2+5=7cm