Sửa đề: BF và CE cắt nhau tại H

a) Xét (O) có 

ΔBEC nội tiếp đường tròn(B,E,C\(\in\)(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBEC vuông tại E(Định lí)

\(\Leftrightarrow CE\perp BE\)

\(\Leftrightarrow CE\perp AB\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AEC}=90^0\)

hay \(\widehat{AEH}=90^0\)

Xét (O) có 

ΔBFC nội tiếp đường tròn(B,F,C\(\in\)(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBFC vuông tại F(Định lí)

\(\Leftrightarrow BF\perp CF\)

\(\Leftrightarrow BF\perp AC\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AFB}=90^0\)

hay \(\widehat{AFH}=90^0\)

Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{AEH}\) và \(\widehat{AFH}\) là hai góc đối

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Xét ΔABC có 

BF là đường cao ứng với cạnh AC(cmt)

CE là đường cao ứng với cạnh AB(cmt)

BF cắt CE tại H(gt)

Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Định lí ba đường cao của tam giác)

\(\Leftrightarrow AH\perp BC\)

hay \(AD\perp BC\)(đpcm)

Tự vẽ hình nhé ?!

a) \(\Delta ABE=\Delta ACD\)vì \(\hept{\begin{cases}\widehat{A}=chung\\\widehat{O}=\widehat{E}=90^0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}\Leftrightarrow AC.AE=AB.AD\)

Do (O) là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

⇒ O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC

⇒ AO là đường trung trực của ∆ABC

⇒ AO ⊥ BC tại H

⇒ H là trung điểm BC

⇒ BH = BC : 2 = 12 : 2 = 6 (cm)

Do ∠ABD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

⇒ ∠ABD = 90⁰

∆ABD vuông tại B có BH là đường cao

⇒ 1/BH² = 1/AB² + 1/BD²

⇒ 1/BD² = 1/BH² - 1/AB²

= 1/36 - 1/100

= 4/225

⇒ BD² = 225/4

⇒ BD = 15/2 = 7,5 (cm)

∆ABD vuông tại B

⇒ AD² = AB² + BD² (Pytago)

= 10² + 7,5²

= 156,25

⇒ AD = 12,5 (cm)

Để tính độ dài đoạn thẳng AD, ta cần tìm được tọa độ của điểm D trên đường tròn (O).

Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Ta có AM là đường trung trực của BC, do đó OM vuông góc với BC và OM = MC = 6(cm).

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực của BC cũng là đường cao của tam giác. Do đó, ta có AH là đường cao của tam giác ABC và AH = $\sqrt{AB^2 - BM^2}$ = $\sqrt{100 - 36}$ = $\sqrt{64}$ = 8(cm).

Ta có thể tính được AO bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOM:

$AO^2 = AM^2 + OM^2 = 10^2 - 6^2 + 6^2 = 100$

Vậy $AO = 10$ (cm).

Do đó, ta có thể tính được bán kính đường tròn (O) là $R = \frac{BC}{2} = 6$ (cm).

Gọi E là điểm đối xứng của A qua đường tròn (O). Ta có AE là đường đối xứng của AH qua đường tròn (O), do đó AE = AH = 8 (cm).

Ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng DE bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOD:

$DE^2 = DO^2 + OE^2 = R^2 + AE^2 = 6^2 + 8^2 = 100$

Vậy $DE = 10$ (cm).

Ta cần tính độ dài đoạn thẳng AD. Ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng HD bằng định lý Euclid:

$\frac{HD}{BD} = \frac{AH}{AB}$

$\Rightarrow HD = \frac{AH \cdot BD}{AB} = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{24}{5}$ (cm)

Ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng AO bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHO:

$AD^2 = AO^2 + OD^2 - 2 \cdot AO \cdot OD \cdot \cos{\angle AOD}$

Vì tam giác AOD cân tại O nên $\angle AOD = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB$. Ta có thể tính được $\angle AOB$ bằng định lý cosin trong tam giác ABC:

$\cos{\angle AOB} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC

ối chồi em mới lớp 7 thôi