Trước tiên ta cần chứng minh :

\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Trong 3 số : \(\hept{\begin{cases}a-1\\b-1\\c-1\end{cases}}\) sẽ có ít nhất 2 số cùng dấu 

Giả sử hai số đó là : \(a-1,b-1\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2abc\ge2\left(ac+bc-c\right)\)

Giờ ta cần chứng minh : \(a^2+b^2+c^2+2\left(ac+bc-c\right)+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow b^2-2ab+a^2+c^2-2c+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) ( đúng )

\(\Rightarrow\) ta có đpcm 

Quay lại bài toán ban đầu ta có :

\(P=a^2+b^2+c^2+2abc+\frac{18}{ab+bc+ac}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-1+\frac{18}{ab+bc+ca}\)

\(\ge2.2.3\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}}-1=11\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Vai trò của a, b, c là bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)

Ta có BĐT quen thuộc sau: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Có: \(VT-VP=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(a+b+2\sqrt{ab}-2c\right)+\left(c-1\right)^2+2c\left(\sqrt{ab}-1\right)^2\ge0\)(vì \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)) 

Từ đó \(P\ge2\left(ab+bc+ca\right)+\frac{18}{ab+bc+ca}-1\)

\(\ge2\sqrt{2\left(ab+bc+ca\right).\frac{18}{ab+bc+ca}}-1=11\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =  1

Hoàng Việt Nhật: Trả lời kiểu gì mà nhanh vậy, t mất 3 phút để nhớ lại cái BĐT phụ này.

Trước tiên ta cần chứng minh:

\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Trong 3 số \(\left\{{}\begin{matrix}a-1\\b-1\\c-1\end{matrix}\right.\) sẽ có ít nhất 2 số cùng dấu

Giả sử 2 số đó là \(a-1,b-1\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2abc\ge2\left(ac+bc-c\right)\)

Giờ ta cần chứng minh: \(a^2+b^2+c^2+2\left(ac+bc-c\right)+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow b^2-2ab+a^2+c^2-2c+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) (đúng)

\(\Rightarrow\) Ta có ĐPCM

Quay lại bài toán ban đầu ta có:

\(P=a^2+b^2+c^2+2abc+\dfrac{18}{ab+bc+ca}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-1+\dfrac{18}{ab+bc+ca}\)

\(\ge2.2.3\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}}-1=11\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Đánh giá câu hỏi by Isolde Moria .

Các CTV khác vui lòng giứ nguyên cho đến khi ad check . Thanks !

Đây này:

P = a² + b² +c² + 2abc + \(\dfrac{18}{ab+bc+ca}\)

\(\ge\) 2(ab+bc+ca) - 1 + \(\dfrac{18}{ab+bc+ca}\)

\(\ge\) 2.2.3 \(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}}\) - 1 =11

Dat \(\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow xyz=1\)

\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+1}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{x+y+1}\)

We need to prove:

\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{x+y+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{x+y}{x+y+1}\ge2\left(M\right)\)

We have:

\(VT_M\ge\frac{\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{x+y}\right)^2}{2\Sigma_{cyc}x+3}\)

Now we need to prove

\(\frac{\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{x+y}\right)^2}{2\Sigma_{cyc}x+3}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\Sigma_{cyc}x+3\left(M_1\right)\)

Consider:

\(VT_{M_1}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge x+y+z+xy+yz+zx\)

Now we need to prove:

\(x+y+z+xy+yz+zx\ge x+y+z+3\)

\(xy+yz+zx\ge3\) (Not fail with xyz=1)

Dau '=' xay ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c=1\\x=y=z=1\end{cases}}\)

Mấy cái kí hiệu kia là gì v bạn 

Ta có:

\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{abc^2}}=\dfrac{2}{c}\)

Tương tự: \(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{b}\) ; \(\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{a}\)

Cộng vế với vế: \(\Rightarrow\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{1}{2}\left(c^2+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{a^2}}+\dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{\dfrac{b^2}{b^2}}+\dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{c^2}}=\dfrac{9}{2}\)

\(P_{min}=\dfrac{9}{2}\) khi \(a=b=c=1\)

\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)

\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)

\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)

\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)