Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thu Trang

Cho 3 số dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P= a2 + b2 + c2 + 2abc + \(\dfrac{18}{ab+bc+ca}\)

Hung nguyen
25 tháng 3 2017 lúc 13:34

Trước tiên ta cần chứng minh:

\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Trong 3 số \(\left\{{}\begin{matrix}a-1\\b-1\\c-1\end{matrix}\right.\) sẽ có ít nhất 2 số cùng dấu

Giả sử 2 số đó là \(a-1,b-1\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2abc\ge2\left(ac+bc-c\right)\)

Giờ ta cần chứng minh: \(a^2+b^2+c^2+2\left(ac+bc-c\right)+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow b^2-2ab+a^2+c^2-2c+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) (đúng)

\(\Rightarrow\) Ta có ĐPCM

Quay lại bài toán ban đầu ta có:

\(P=a^2+b^2+c^2+2abc+\dfrac{18}{ab+bc+ca}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-1+\dfrac{18}{ab+bc+ca}\)

\(\ge2.2.3\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}}-1=11\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Isolde Moria
25 tháng 3 2017 lúc 11:36

Đánh giá câu hỏi by Isolde Moria .

Các CTV khác vui lòng giứ nguyên cho đến khi ad check . Thanks !

Nguyễn Thu Trang
26 tháng 3 2017 lúc 11:26

Đây này:

P = a2 + b2 +c2 + 2abc + \(\dfrac{18}{ab+bc+ca}\)

\(\ge\) 2(ab+bc+ca) - 1 + \(\dfrac{18}{ab+bc+ca}\)

\(\ge\) 2.2.3 \(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}}\) - 1 =11


Các câu hỏi tương tự
ʚĭɞ Thị Quyên ʚĭɞ
Xem chi tiết
Marie Curie
Xem chi tiết
Phạm Thanh Trà
Xem chi tiết
Võ Đông Anh Tuấn
Xem chi tiết
neko chan
Xem chi tiết
Mai Thành Đạt
Xem chi tiết
Ngọc Vĩ
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
shuruken
Xem chi tiết