Cho a, b, c > 0, và a + b + c = 3. Tìm GTNN của \(\frac{a^{20}}{b^{11}}+\frac{b^{20}}{c^{11}}+\frac{c^{20}}{a^{11}}\)
Những câu hỏi liên quan
1. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: \(x^{20}+\left(x+1\right)^{11}=2016^y\)
2. Cho a, b, c dương thỏa mãn \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ac}{a+c}\). Tính giá trị của \(A=\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
a) cho số nguyên dương a,b,c đôi1 nguyên tố cùng nhau thỏa mãn (a+b)c=ab. Xét tổng M=a+b có phải số chính phương không?
b) cho x>0,y>0 và x+y < = 2 tìm giá trị biểu thức:\(P=\frac{20}{x^2+y^2}+\frac{11}{xy}\)
Cho a,b,c>0
Tìm GTNN : \(A=20\left(\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}\right)-17\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ:
\(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}\). (*)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) với x, y > 0 ta có:
\(\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}\le a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\).
Do đó (*) đúng.
Suy ra: \(A\ge80\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)-17\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=63\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\).
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) (bất đẳng thức Nesbitt) ta có \(A\ge\frac{189}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Vậy Min A = \(\frac{189}{2}\) khi a = b = c.
Bài 1: Tìm số hạng thứ 4 lập thành 1 tỉ lệ thức (TLT) với 3 số hạng sau: 4;25;100 Bài 2: Cho TLT . Tính tỉ số .Bài 3: Cho TLT với a 3; b –6. CMR: Bài 4: Các số a,b,c phải có thêm điều kiện gì để có TLT: với b 0; b + c 0.Bài 5: Cho TLT với a,b,c 0; a c. CMR: Bài 6: Tìm các số x,y,z biết:a, và x + y - 10z – 102b, 9x 5y 15z và –x + y - z 11c, và 2x - y - z – 6Bài 8: Cho TLT . Chứng minh:a, b, c,
Đọc tiếp
Bài 1: Tìm số hạng thứ 4 lập thành 1 tỉ lệ thức (TLT) với 3 số hạng sau: 4;25;100
Bài 2: Cho TLT . Tính tỉ số
.
Bài 3: Cho TLT với a
3; b
–6. CMR:
Bài 4: Các số a,b,c phải có thêm điều kiện gì để có TLT:
với b
0; b + c
0.
Bài 5: Cho TLT với a,b,c
0; a
c. CMR:
Bài 6: Tìm các số x,y,z biết:
a, và x + y - 10z = – 102
b, 9x = 5y = 15z và –x + y - z = 11
c, và 2x - y - z = – 6
Bài 8: Cho TLT . Chứng minh:
a, b,
c,
Cho a, b, c > 0 và a + 2b + 3c ≥ 20.
Tìm GTNN của \(S=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)
\(S=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)
\(=\left(\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\right)+\left(\frac{c}{4}+\frac{4}{c}\right)+\frac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3a}{4}.\frac{3}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{9}{2b}}+2\sqrt{\frac{c}{4}.\frac{4}{c}}+\frac{1}{4}.20\)
\(\Rightarrow S\ge13\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2, b = 3, c = 4
Vậy minS = 13 tại (a,b,c) = (2,3,4)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}\) ( a + b + c + d khác 0)
Chứng minh: \(a^{20}\cdot b^{11}\cdot c^{2011}=d^{2042}\)
..............................................................................
Gợi ý: chứng minh a = b = c = d
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b+c+d+a}=1\)
=> a=b=c=d=1
=> a20.b11.c2011 = d2042 ( = 1) (dpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b+c+d+a}=1\)
=> a =b=c =d
=> a20.b11.c2011 =d20.d11.d2011 =d20+11+2011 =d2042
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho và
. Giá trị của biểu thức
là
Ta có:\(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{c+d+a}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{b+c+d}{a}=\frac{c+d+a}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{b+c+d}{a}+1=\frac{c+d+a}{b}+1=\frac{a+b+d}{c}+1=\frac{a+b+c}{d}+1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)=\(\frac{a+b+c+d+a+b+c+d+a+b+c+d+a+b+c+d}{a+b+c+d}=4\)(T/C)
Xét a+b+c+d=0
\(\Rightarrow a+c=-\left(b+d\right),a+b=-\left(c+d\right),b+c=-\left(a+d\right)\)
\(\Rightarrow M=-1+-1+-1+-1=-4\)
Xét \(a+b+c+d\ne0\Rightarrow a=b=c=d\)
\(\Rightarrow M=1+1+1+1=4\)
Vậy M=-4 hoặc M=4
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}\left(a,b,c,d\ne0\right)\)
\(CMR:a^{20}.b^{11}.c^{2011}=d^{2042}\)
cho a,b,c > 0 thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{11}{a+b+c}\). Tìm GTNN của:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)