a) Vì AB là tiếp tuyến (O)

=> AB⊥OB

=> ABOˆABO^=900=900

Vì AC là tiếp tuyến (O)

=> AC⊥OC

=>ACOˆACO^ =900=900

Ta có: ABOˆ+ACOˆABO^+ACO^ =900+900=1800=900+900=1800

=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Vì tiếp tuyến AB cắt tiếp tuyến AC tại A

⇒{AB=ACBO=CO⇒{AB=ACBO=CO

⇒⇒ AO là đường trung trực ứng BC

⇒⇒ AO⊥BC ( mà E∈BC)

⇒⇒ BE⊥AO (đpcm)

Xét ΔABO có: ABOˆABO^ =900=900 (cmtrn)

BE⊥AO (cmtrn)

⇒⇒ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

⇒⇒ AO⋅OE=OB2AO⋅OE=OB2 (mà OB=R)

⇒OA⋅OE=R2⇒OA⋅OE=R2 (đpcm)

c) Vì tiếp tuyến BP cắt tiếp tuyến PK tại P

⇒PB=PK⇒PB=PK

Vì tiếp tuyến KQ cắt tiếp tuyến QC tại Q

⇒KQ=QC⇒KQ=QC

Ta có: PAPQ=AP+PQ+AQPAPQ=AP+PQ+AQ =AP+PK+KQ+AQ=AP+PK+KQ+AQ

⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)

⇔PAPQ=AB+AC⇔PAPQ=AB+AC

Vì AB+ACAB+AC không thay đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC

⇒⇒ Chu vi tam giác AQP không thay đổi khi K thay đổi trên cung nhỏ BC (đpcm).

d) Tự CM: ΔMOP∼ΔNQOΔMOP∼ΔNQO

⇒MPNO=MONQ⇒MPNO=MONQ ⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2

⇔MP⋅NQ=MN24⇔MP⋅NQ=MN24

⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)

⇔MN=2⋅MN⋅NQ−−−−−−−−√⇔MN=2⋅MN⋅NQ

Áp dụng bđt Côshi ta có:

2⋅MP⋅NQ−−−−−−−−√≤MP+NQ2⋅MP⋅NQ≤MP+NQ

⇔MN≤MP+NQ⇔MN≤MP+NQ (đpcm).

a: Sửa đề: MK\(\perp\)AB

Xét tứ giác BIMK có \(\widehat{BIM}+\widehat{BKM}=90^0+90^0=180^0\)

nên BIMK là tứ giác nội tiếp

=>B,I,M,K cùng thuộc một đường tròn

b: Xét tứ giác IMHC có \(\widehat{MIC}+\widehat{MHC}=90^0+90^0=180^0\)

nên IMHC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MHI}=\widehat{MCI}\)(1)

Ta có: BIMK là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MIK}=\widehat{MBK}\left(2\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{MCB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB

\(\widehat{MBK}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BK và dây cung BM

Do đó: \(\widehat{MCB}=\widehat{MBK}=\widehat{MCI}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{MIK}=\widehat{MHI}\)

Ta có: BIMK là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MKI}=\widehat{MBI}=\widehat{MBC}\left(4\right)\)

Ta có: IMHC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MIH}=\widehat{MCH}\left(5\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

\(\widehat{MCH}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CH và dây cung CM

Do đó: \(\widehat{MBC}=\widehat{MCH}\left(6\right)\)

Từ (4),(5),(6) suy ra \(\widehat{MIH}=\widehat{MKI}\)

Xét ΔMIH và ΔMKI có

\(\widehat{MIH}=\widehat{MKI}\)

\(\widehat{MHI}=\widehat{MIK}\)

Do đó: ΔMIH~ΔMKI

=>\(\dfrac{MI}{MK}=\dfrac{MH}{MI}\)

=>\(MI^2=MH\cdot MK\)

đợi xíu,,tui đang lm bài dưới

c) cm là trung điểm rồi => vg góc

chắc cm tứ giác EMIF nội típ

Tự vẽ hình

Tứ giác DBFC nội tiếp => góc FDC =FBC và CBD= CFD

Tứ giác DAEC nội tiếp => góc CDE=EAC và CAD = CED

Mà EAC = EBA, CBF = CAB  ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )

ð CDF = CED VÀ CFD= CDE => tam giác ECD đồng dạng tam giác DCF => EDF = CAB + CBA mà CAB + CBA + ACB = 180 => IDK + ICK = 180 => tứ giác CIDK nội tiếp => CKI = CDI = CFD= CBA => IK// AB (đfcm )