please help me

a, ta có N,O lần lượt là trung điểm của AD,AC=> NO//DC mà DC\(\perp\)AD nên \(\widehat{ADO}\)=\(90^o\)

Tương tự ta được \(\widehat{AEO}=90^o\)

Xét tứ giác AEON có:\(\widehat{NAE}=\widehat{ANO}=\widehat{AEO}=90^o\)=>AEON là hình chữ nhật=>AI=AO,BI=ÌF

Vì N,O lần lượt là trung điểm của AD,DB nên NO//AB=>\(\widehat{BAI}=\widehat{IOF}\)

Xét \(\Delta BAI\)và \(\Delta FOI\)có:\(\widehat{BAI}=\widehat{IOF}\),AI=AO,\(\widehat{AIB}=\widehat{FIO}\)

=>\(\Delta BAI=\Delta FOI\)=>AB=FO

Xét tứa giác ABOF có AB//=FO=> ABOF là hình bình hành=>AF=BO mà BO=AO=>AF=AO=OD

Vì I,O lần lượt là trung điểm của BF và BD nên IO=1/2FD=1/2AO=>FD=AO

Xét tứ giác OAFD có:

AF=AO=OD=FD=>OAFD là hình thoi

c,Vì BH.HC+CK.KD=BM.MD mà BM+MD=BD =>ko đổi =>để BM.BD lớnnhaats thì M là trung điểm của BD hay BH.HC+CK.KD lớn nhất khi M trùng với O

Hệ thức cần chứng minh tương đương:

\(\frac{BH.HC}{BM.MD}+\frac{CK.KD}{BM.MD}=1\) (Vì BM.MD > 0)

\(\Leftrightarrow\frac{BH^2}{BM^2}+\frac{KD^2}{MD^2}=1\) (Vì \(\frac{HC}{MD}=\frac{BH}{BM},\frac{CK}{BM}=\frac{KD}{MD}\) theo ĐL Thales)

\(\Leftrightarrow\frac{BC^2}{BD^2}+\frac{CD^2}{BD^2}=1\)(ĐL Thales) \(\Leftrightarrow\frac{BC^2+CD^2}{BD^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{BD^2}{BD^2}=1\)(ĐL Pytagoras) \(\Leftrightarrow1=1\)(Đúng). Vậy có ĐPCM.

a: Xét tứ giác AEMF có

\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{EAF}=90^0\)

=>AEMF là hình chữ nhật

b:

Ta có: MF\(\perp\)AD

DC\(\perp\)AD

Do đó: MF//DC

Ta có: AEMF là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{AMF}\)

mà \(\widehat{AMF}=\widehat{ACD}\)(hai góc đồng vị, MF//CD)

nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ACD}\)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường và AC=BD

=>O là trung điểm chung của AC và BD và AC=BD

=>OA=OB=OC=OD

Xét ΔACD vuông tại D và ΔCAB vuông tại B có

CA chung

AD=CB

Do đó: ΔACD=ΔCAB

=>\(\widehat{ACD}=\widehat{CAB}\)

mà \(\widehat{CAB}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)(ΔOAB cân tại O)

nên \(\widehat{ACD}=\widehat{ABD}\)

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ABD}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên EF//BD