\(\left(2n+1\right)\left(n^2-3n-1\right)-2n^3+1\)

\(=2n^3-6n^2-2n+n^2-3n-1-2n^3+1\)

\(=-5n^2-5n=-5n\left(n+1\right)\)

Vì n và n+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên n(n+1) chia hết cho 2 \(=>-5n\left(n+1\right)⋮10\)

Vậy (2n+1)(n^2-3n-1)-2n^3+1 chia hết cho 10 với mọi n đều thuộc Z

\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=3^n\cdot9+3^n-2^n\cdot4-2^n\)

\(=3^n\cdot10-2^n\cdot5\)

\(=10\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\)

\(A=\left(n^2+3n+2\right)\left(2n-1\right)-2\left(n^3-2n-1\right)\)

\(A=2n^3+6n^2+4n-n^2-3n-2-2n^3+4n+2\)

\(A=5n^2+5n\)

\(A=5n\left(n+1\right)\)

\(\text{Vì 5⋮5 nên 5n(n+1)⋮5}\)(1)

\(\text{Vì n;n+1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên n(n+1)⋮2}\)

\(\Rightarrow5n\left(n+1\right)⋮2\)(2)

\(\text{Từ (1) và (2)}\Rightarrow5n\left(n+1\right)⋮10\text{ vì (2,5)=1}\)

\(\text{Vậy A⋮10}\)

1) Đặt A = n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) 
Nếu n chia hết cho 5 ta dễ thấy đpcm 
Nếu n : 5 dư 1 => n = 5k + 1 
=> A = n.(5k + 1 - 1)(n + 1)(n^2 + 1) = n.5k.(n + 1)(n^2 + 1) chia hết cho 5 
Nếu n : 5 dư 2 => n = 5k + 2 
=> A = n(n - 1)(n + 1)[(5k + 2)^2 + 1] = n(n - 1)(n + 1)(25k^2 + 20k + 5) 
= 5n(n - 1)(n + 1)(5k^2 + 4k + 1) chia hết cho 5 
Nếu n : 5 dư 3 => n = 5k + 3 
=>A = n(n - 1)(n + 1)(25k^2 + 30k + 10) = 5n(n - 1)(n + 1)(5k^2 + 6k + 2) chia hết cho 5 
Nếu n : 5 dư 4 => n = 5k + 4 
=> A = n(n - 1)(5k + 5)(n^2 + 1) = 5n(n - 1)(k + 1)(n^2 + 1) chia hết cho 5 
Vậy trong tất cả trường hợp n^5 - n luôn chia hết cho 6 

2) Đặt B = n^3 - 13n = n^3 - n -12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n 
Ta có : Trong 3 số nguyên liên tiếp tồn tại ít nhất 1 số chẵn và tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 nên tích của 3 số đó chia hết cho 2 và chia hết cho 3 mà (2;3) = 1 nên tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 
=> n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 6 mà 12n chia hết cho 6 
=> n^3 - n chia hết cho 6 

3) n^3 + 23n = n^3 - n + 24n = n(n - 1)(n + 1) + 24n 
Tương tự câu 2 : n(n - 1)(n + 1) và 24n chia hết cho 6 
=> n^3 + 23n chia hết cho 6 

4)Đặt A = n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)[2(n - 1) + 3] 
= 2n(n + 1)(n - 1) + 3n(n + 1) 
n(n + 1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 
2n(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2 
=> A chia hết cho 2 
n(n + 1)(n - 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 
3n(n + 1) chia hết cho 3 
=> A chia hết cho 3 
Mà (2 ; 3) = 1 (nguyên tố cùng nhau) 
=> A chia hết cho 6 

5) Đặt A = 3n^4 - 14n^3 + 21n^2 - 10n 
Chứng minh bằng quy nạp 
Với n =1 => A = 0 chia hết cho 24 
Giả sử A chia hết 24 đúng với n = k 
Nghĩa là :A(k) = 3k^4 - 14k^3 + 21k^2 - 10k chia hết cho 24 
Ta phải chứng minh : 
A chia hết cho 24 đúng với n = k + 1 
Nghĩa là : 
A(k + 1) = 3(k + 1)^4 - 14(k + 1)^3 + 21(k + 1)^2 - 10(k + 1) 
Khai triển ta được : 
A = (3k^4 - 14k^3 + 21k^2 - 10k) + (12k^3 - 24k^2 + 12k) 
Ta phải chứng minh : 12k^3 - 24k^2 + 12k chia hết 24 
12k^3 - 24k^2 + 12k = 12k(k^2 - 2k + 1) 
= 12k(k - 1)^2 = 12k(k - 1)(k - 1) 
12 chia hết 12 
k(k - 1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 
=> 12k^3 - 24k^2 - 2k + 1 chia hết cho 24 
Mà 3k^4 - 14k^3 + 21k^2 - 10k chia hết cho 24 (giả thiết quy nạp) 
=> A(k + 1) chia hết 24 
Theo nguyên lý quy nạp => A chia hết cho 24 (đpcm) 

6) n = 2k + 1 với k thuộc Z 
A = n^2 + 4n + 3 = (2k + 1)^2 + 4(2k + 1) + 3 
= 4k^2 + 12k + 8 
= 4(k^2 + 3k + 2) 
= 4(k + 2k + k + 2) 
= 4(k + 1)(k + 2) 
4 chia hết cho 4 
(k +1)(k + 2) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 
=> n^2 + 4n + 3 chia hết cho 4.2 = 8 với n lẻ 

7) n = 2k + 1 
Đặt A = n^3 + 3n^2 - n - 3 
= (2k + 1)^3 + 3(2k + 1)^2 - (2k + 1) - 3 
= 8k^3 + 24k^2 + 16k 
= 8k(k^2 + 3k + 2) 
= 8k(k^2 + k + 2k + 2) 
= 8k(k + 1)(k + 2) 
8 chia hết cho 8 
k(k + 1)(k + 2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 => chia hết cho 6 
=> A chia hết cho 8.6 = 48 với n lẻ

Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì

3^n + 2 – 2^n + 2 + 3^n – 2^n chia hết cho 10

                                      Giải

3^n + 2 – 2^n + 2 + 3^n – 2^n

= 3^n+2 + 3^n – 2^n + 2 -  2^n

= 3^n+2 + 3^n – ( 2^n + 2 + 2^n )

= 3^n . 3^2 + 3^n – ( 2^n . 2^2 + 2^n )

= 3^n . ( 3^2 + 1 ) – 2^n . ( 2^2 + 1 )

= 3^n . 10 – 2^n . 5

= 3^n.10 – 2^n -1.10

= 10.( 3^n – 2^n-1)

Vậy 3^n+2 – 2^n +2 + 3^n – 2^n chia hết cho 10

a,A=(n-1).(n+1)-n^2+3n-5 

= n^2 - 1 - n^2 + 3n - 5

= 3n - 6

= 3(n - 2) chia hết cho 3

b,A=(2n-1).(n+1)-n(2n-4)+21 

= 2n^2 + n - 1 - 2n^2 + 4n + 21

= 5n + 20 = 5(n + 4) chia hết cho5

A = ( n - 1 )( n + 1 ) - n² + 3n - 5

= n² - 1 - n² + 3n - 5

= 3n - 6 = 3( n - 2 ) chia hết cho 3 ( đpcm )

A = ( 2n - 1 )( n + 1 ) - n( 2n - 3n ) + 21

= 2n² + n - 1 - n( -n ) + 21

= 2n² + n + 20 + n²

= 3n² + n + 20 ( cái này chưa chắc được :)) )

\(n^3+3n^2+2n=n\left(n^2+3n+2\right)=n\left[n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3