\(VT=\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=5\)

\(VP=5-\left(x+1\right)^2\le5\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)

ĐKXĐ: \(x\in R\)

\(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2\)

=>\(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}+x^2+2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}+x^2+2x+1-5=0\)

=>\(\sqrt{3x^2+6x+7}-2+\sqrt{5x^2+10x+14}-3+\left(x+1\right)^2=0\)

=>\(\dfrac{3x^2+6x+7-4}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5x^2+10x+14-9}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+\left(x+1\right)^2=0\)

=>

\(\dfrac{3x^2+6x+3}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5x^2+10x+5}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+\left(x+1\right)^2=0\)

=>\(\dfrac{3\left(x^2+2x+1\right)}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5\left(x^2+2x+1\right)}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+\left(x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(x+1\right)^2}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5\left(x+1\right)^2}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+\left(x+1\right)^2=0\)

=>\(\left(x+1\right)^2\left(\dfrac{3}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+1\right)=0\)

=>\(\left(x+1\right)^2=0\)

=>x+1=0

=>x=-1(nhận)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+16}+\left(x+1\right)^2=6\)

Mà \(\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)

\(\sqrt{5\left(x+1\right)^2+16}\ge\sqrt{16}=4\)

\(\left(x+1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+16}+\left(x+1\right)^2\ge6\) với mọi x thuộc R.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)

Kết luận: \(x=-1.\)

x=-3 đúng thì **** giùm nha bạn

Ta có : VT = \(\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=5\)

VP=5-(x+1)^2 \(\le\) 5

Đẳng thức xảy ra khi hai vế cùng bằng 5

Khi đó (x+1)^2 =0

Suy ra x=-1

Ta có : \(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=-x^2-2x+4\)

Xét \(x_1< x_2< -1\), khi đó : \(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=-x_1^2-2x_1+4+x_2^2+2x_2-4=\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1+2\right)< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\). Vậy f(x) đồng biến với mọi \(x< -1\) 

Tương tự ta chứng minh được :

+ Với x = -1 thì VT = VP => là nghiệm của pt trên

+ Với x < -1 thì do \(f'\left(x\right)\) nghịch biến nên VT > 5 , \(f\left(x\right)\) đồng biến nên VP < 5 => vô lí

+ Với x > -1 thì do \(f'\left(x\right)\) đồng biến nên VT > 5 , \(f\left(x\right)\)nghịch biến nên VP < 5 => vô lí

Vậy x = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ta có 

\(\sqrt{3x^2+6x+7}=\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}\ge2\)

\(\sqrt{5x^2+10x+14}=\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\ge3\)

4 - 2x - x² = 5 - (x + 1)² \(\le5\)

Ta có VT \(\ge5\);VP \(\le\)5

Nên dấu bằng xảy ra khi x = - 1

Ta có : √3x2+6x+7+√5x2+10x+14=−x2−2x+4

Xét x1<x2<−1, khi đó : ƒ (x1)−ƒ (x2)=−x12−2x1+4+x22+2x2−4=(x2−x1)(x2+x1+2)<0

⇒ƒ (x1)<ƒ (x2). Vậy f(x) đồng biến với mọi x<−1 

Tương tự ta chứng minh được :

+ Với x = -1 thì VT = VP => là nghiệm của pt trên

+ Với x < -1 thì do ƒ '(x) nghịch biến nên VT > 5 , ƒ (x) đồng biến nên VP < 5 => vô lí

+ Với x > -1 thì do ƒ '(x) đồng biến nên VT > 5 , ƒ (x)nghịch biến nên VP < 5 => vô lí

Vậy x = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

\(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2\)

Ta có: \(VT=\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}\)

                   \(=\sqrt{3\left(x^2+2x+1\right)+3}+\sqrt{5\left(x^2+2x+1\right)+9}\)

                      \(\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+\sqrt{9}\)

Mặt khác: \(VP=4-2x-x^2=-\left(x^2+2x+1\right)+5=5-\left(x+1\right)^2\le5\)

Hai vế của phương trình bằng 5

<=> x + 1 = 0

<=> x       = -1

Vậy x = - 1 là nghiệm của phương trình

P/s: Đây là cách giải của mình, mong các bạn góp ý. Cảm ơn

tại sao VT \(\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}\)???????