nhân cả tử và mẫu của các phân thức với chính nó ta có:\(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}=\frac{\frac{a^2}{\left(ab+a+1\right)^2}}{a}\)rồi công 3 vế lại và áp dụng bđt bu nhi a mở rộng đc.......\(\ge\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{a+b+c}\)
Những câu hỏi liên quan
Nêu các cách chứng minh BĐT Nesbitt.BĐT Nesbitt là một BĐT khá quen thuộc trong các bài toán BĐT,chúng ta hay tìm những lời giải cho BĐT này nhé!Đề: Cho a,b,c0.CMR frac{a}{b+c}+frac{b}{c+a}+frac{c}{a+b}gefrac{3}{2}Cách 1:Thật vậy,ta có: VTfrac{a^2}{aleft(b+cright)}+frac{b^2}{bleft(c+aright)}+frac{c^2}{cleft(a+bright)}gefrac{left(a+b+cright)^2}{2left(ab+bc+caright)}gefrac{left(a+b+cright)^2}{2.frac{left(a+b+cright)^2}{3}}frac{1}{frac{2}{3}}.1frac{3}{2}^{left(đpcmright)}Cách 2:Ta có: BĐT Leftright...
Đọc tiếp
Nêu các cách chứng minh BĐT Nesbitt.
BĐT Nesbitt là một BĐT khá quen thuộc trong các bài toán BĐT,chúng ta hay tìm những lời giải cho BĐT này nhé!
Đề: Cho a,b,c>0.CMR \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Cách 1:
Thật vậy,ta có: \(VT=\frac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{c^2}{c\left(a+b\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}.1=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Cách 2:
Ta có: BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho biểu thức trong ngoặc ta có đpcm.
Mọi người hãy cùng tìm thêm các lời giải khác nhé!
ok , cảm ơn bạn !!!
Bài toán rất hay và bổ ích !!!
Đúng 0
Bình luận (0)
Đây nhé
Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2c+b+a=2c+z\\y+z=2a+b+c=2a+x\\x+z=2b+a+c=2b+y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y-z}{2}=c;\frac{y+z-x}{2}=a;\frac{x+z-y}{2}=b\)
Thay vào PT đã cho ở đề bài , ta có :
\(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)
( cái này cô - si cho x/y + /x ; x/z + z/x ; y/z + z/y)
Đúng 0
Bình luận (0)
e cũng có 1 vài cách chứng minh khá là cổ điển ạ !
Sử dụng BĐT AM-GM ta có :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=2.\frac{a}{2}=a\)
Bằng cách chứng minh tương tự :
\(\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)
Cộng theo vế các bđt cùng chiều ta được :
\(\frac{a^2}{c+b}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge a+b+c\)
\(< =>\frac{a^2}{b+c}+\frac{a}{2}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{b}{2}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{c}{2}\ge a+b+c\)
\(< =>\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{a+c}+b+\frac{c^2}{a+b}+c\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(< =>\frac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)}{a+c}+\frac{c\left(a+b+c\right)}{b+a}\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(< =>\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)
Xem thêm câu trả lời
Xét vế trái :Do a,b,c 0Áp dụng tính chất dãy tỉ số:frac{a}{a+b+c} frac{a}{a+b} frac{a+c}{a+b+c}Tương tự ta cũng có:frac{b}{b+c} frac{b+a}{a+b+c}frac{c}{a+c} frac{c+b}{a+b+c}Cộng vế với vế của các bđt ta đc:frac{a}{a+b}+frac{b}{b+c}+frac{c}{a+c} frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}2left(1right)Xét vế phải ta có: a,b,c0Áp dụng bđt Cô-si:a+b+cge2sqrt{left(a+bright)c}Rightarrowfrac{1}{sqrt{left(a+bright)c}}gefrac{2}{x+y+z}Rightarrowsqrt{frac{x}{y+z}}gefrac{2x}{x+y+z}Tương tự ta có:sqrt{frac{y}{x+z}}gefrac{2y}{x...
Đọc tiếp
Xét vế trái :
Do a,b,c >0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự ta cũng có:
\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế của các bđt ta đc:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=2\left(1\right)\)
Xét vế phải ta có: a,b,c>0
Áp dụng bđt Cô-si:
\(a+b+c\ge2\sqrt{\left(a+b\right)c}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)c}}\ge\frac{2}{x+y+z}\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)
Tương tự ta có:
\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\ge\frac{2y}{x+y+z}\)
\(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)
Cộng vế với vế của các bđt ta đc:
\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge2\left(2\right)\)
Từ (1) (2) suy ra đpcm
Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a , ta có left(a+b+cright)left[frac{a}{left(ab+a+1right)^2}+frac{b}{left(bc+b+1right)^2}+frac{c}{left(ca+c+1right)^2}right]geleft(frac{a}{ab+a+1}+frac{b}{bc+b+1}+frac{c}{ca+c+1}right)^2mà bạn dễ dàng chứng minh frac{a}{ab+a+1}+frac{b}{bc+b+1}+frac{c}{ac+c+1}1 với abc1A(a+b+c)^21frac{a}{left(ab+a+1right)^2}+frac{b}{left(bc+b+1right)^2}+frac{c}{left(ca+c+1right)^2}gefrac{1}{a+b+c}left(ĐPCMright)đấu xảy ra abc1
Đọc tiếp
Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a , ta có
\(\left(a+b+c\right)\left[\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\right]\ge\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2\)
mà bạn dễ dàng chứng minh \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=1\) với abc=1
=>A(a+b+c)^2>=1
=>\(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\ge\frac{1}{a+b+c}\left(ĐPCM\right)\)
đấu = xảy ra <=> a=b=c1
Áp dụng bđt bu nhi a, ta có \(M^2\le3\left(\frac{a}{b+c+2a}+...\right)\)
mà \(\frac{a}{b+c+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
tương tự, ta có \(M^2\le\frac{3}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{c+b}\right)=\frac{9}{4}\)
=>\(M\le\frac{3}{2}\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Cho a,b,c0CMR :frac{a^4}{bleft(b+cright)}+frac{b^4}{cleft(c+aright)}+frac{c^4}{aleft(a+bright)}gefrac{1}{2}left(ab+bc+caright)Áp dụng bđt Svac-xo ta có :VTgefrac{left(a^2+b^2+c^2right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}gefrac{left(a^2+b^2+c^2right)^2}{2left(a^2+b^2+c^2right)}frac{a^2+b^2+c^2}{2}gefrac{ab+bc+ca}{2}Dấu - xảy ra abc
Đọc tiếp
Cho \(a,b,c>0\)
CMR :\(\frac{a^4}{b\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{c\left(c+a\right)}+\frac{c^4}{a\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
Áp dụng bđt Svac-xo ta có :
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Dấu "-" xảy ra \(< =>a=b=c\)
Áp BĐT Cô-si1. Cho a,b,c ge 0. Chứng minh các BĐT sau a. left(1+aright)left(1+bright)left(1+cright)geleft(1+sqrt[3]{abc}right)^3 b. a^2left(1+b^2right)+b^2left(1+c^2right)+c^2left(1+a^2right)ge6abc c. frac{ab}{a+b}+frac{bc}{b+c}+frac{c}{c+a}lefrac{a+b+c}{2} d. frac{a}{b+c}+frac{b}{c+a}+frac{c}{a+b}gefrac{3}{2}
Đọc tiếp
Áp BĐT Cô-si
1. Cho a,b,c \(\ge\) 0. Chứng minh các BĐT sau
a. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
b. \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
c. \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{c}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\)
d. \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
d/ Đặt \(x=a+b\) , \(y=b+c\) , \(z=c+a\)
thì : \(a=\frac{x+z-y}{2}\) ; \(b=\frac{x+y-z}{2}\) ; \(c=\frac{y+z-x}{2}\)
Ta có : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{\frac{x+z-y}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y-z}{2}}{z}+\frac{\frac{y+z-x}{2}}{x}\)
\(=\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}-3\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{1}{2}.6-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (1)
b/ \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2abc+c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc+a^2\right)+\left(c^2a^2-2abc+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-c\right)^2+\left(bc-a\right)^2+\left(ca-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy bđt ban đầu dc chứng minh.
Đúng 0
Bình luận (1)
c/ \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{a+b}{4}\)
Tương tự : \(\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4}\) ; \(\frac{ac}{a+c}\le\frac{a+c}{4}\)
Cộng theo vế : \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{a+c}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Áp dụng BĐT Cô-si
Cho a,b,c\(\ge0\). Chứng minh các BĐT sau
a. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
b. \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c,vớia,b,c\ge0\)
a)Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cộng theo vế 2 bđt trên ta có:
\(3\ge\frac{3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
Dấu = khi a=b=c
b)Áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc^2a}{ab}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca^2b}{bc}}=2a\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{b^2ac}{ac}}=2b\)
Cộng theo vế 3 bđt trên ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Đấu = khí a=b=c
Đúng 0
Bình luận (1)
ta có bđt cần chứng minh frac{sqrt{xy+z}+sqrt{2x^2+2y^2}}{1+sqrt{xy}}ge1Leftrightarrowsqrt{xy+z}+sqrt{2left(x^2+y^2right)}ge1+sqrt{xy}Áp dụng bđt bu nhi ta có sqrt{2left(x^2+y^2right)}ge x+y (1)mà x+y+z1Rightarrow xy+zxy+zleft(x+y+zright)left(z+xright)left(z+yright)áp dụng bu nhi a ta có sqrt{left(z+xright)left(z+yright)}ge z+sqrt{xy} (2)từ (1) và (2) sqrt{xy+z}+sqrt{2x^2+2y^2}ge x+y+z+sqrt{xy}1+sqrt{xy}
Đọc tiếp
ta có bđt cần chứng minh
\(\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\Leftrightarrow\sqrt{xy+z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge1+\sqrt{xy}\)
Áp dụng bđt bu nhi ta có
\(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\) (1)
mà x+y+z=1\(\Rightarrow xy+z=xy+z\left(x+y+z\right)=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)
áp dụng bu nhi a ta có \(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\) (2)
từ (1) và (2) => \(\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge x+y+z+\sqrt{xy}=1+\sqrt{xy}\)
Chứng minh frac{a^3}{b}+frac{b^3}{c}+frac{c^3}{a}ge a^2+b^2+c^2C1VTfrac{a^4}{ab}+frac{b^4}{bc}+frac{c^4}{ac}gefrac{left(a^2+b^2+c^2right)^2}{ab+bc+ac}gefrac{left(a^2+b^2+c^2right)^2}{a^2+b^2+c^2}a^2+b^2+c^2VPDấu bằng xảy khi abcC2 Áp dụng cosi ta có :frac{a^3}{b}+frac{a^3}{b}+b^2ge3a^2;frac{b^3}{c}+frac{b^3}{c}+c^2ge3b^2; frac{c^3}{a}+frac{c^3}{a}+a^2ge3c^2Cộng 3 vế của 3 BĐT ta được ĐPCM
Đọc tiếp
Chứng minh \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\)
C1\(VT=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2=VP\)
Dấu bằng xảy khi a=b=c
C2 Áp dụng cosi ta có :
\(\frac{a^3}{b}+\frac{a^3}{b}+b^2\ge3a^2\);\(\frac{b^3}{c}+\frac{b^3}{c}+c^2\ge3b^2\); \(\frac{c^3}{a}+\frac{c^3}{a}+a^2\ge3c^2\)
Cộng 3 vế của 3 BĐT ta được ĐPCM
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge a^2+b^2+c^2\)
ta có:ab+bc+acabcLeftrightarrowfrac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}1Áp dụng BĐT :frac{1}{x+y}lefrac{1}{4}left(frac{1}{x}+frac{1}{y}right)ta có:frac{1}{2a+b+c}frac{1}{left(a+cright)+left(a+bright)}lefrac{1}{4}left(frac{1}{a+b}+frac{1}{a+c}right).lefrac{1}{4}left(frac{1}{4}left(frac{1}{a}+frac{1}{b}right)+frac{1}{4}left(frac{1}{a}+frac{1}{c}right)right)frac{1}{16}left(frac{2}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}right).Tương tự ta có :frac{1}{a+2b+c}lefrac{1}{16}left(frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{1}{c}right);frac{1}...
Đọc tiếp
ta có:\(ab+bc+ac=abc\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Áp dụng BĐT :\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)ta có:
\(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right).\)\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\)
Tương tự ta có :\(\frac{1}{a+2b+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right);\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right).\)
Cộng ba BĐT lại ta có:
\(Q\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{4}.\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=3\).Max=\(\frac{1}{4}\)