Cho tam giác ABC vuông tại A
đường phân giác BD
Kẻ DE vuông góc BC (E thuộc BC)
a) c/m: BD là đường trung trực của AE và AD <DC
b) Tia ED cắt tia BA tại E
C/m: BD vuông góc CF và AE//CE
c) Tia BD cắt FC tại G.
C/m: D cách đều 3 cạnh của tam giác AEG
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường phân giác BD, kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). a) Chứng minh rằng: BD là trung trực của AE và AD < DC. b) Tia ED cắt tia BA tại F. Chứng minh: BD vuông góc với CF và AE // CF.c) Tia BD cắt FC tại G. Chứng minh rằng D cách đều ba cạnh của tam giác AEG. d) Lấy M và N tương ứng di động trên BF và BC sao cho BM + BN = BC. Chứng minh rằng trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Chỉ cần làm phần c,d
c) -△ABG và △JBG có: \(AB=BE;\widehat{ABG}=\widehat{JBG};BG\) là cạnh chung.
\(\Rightarrow\)△ABG=△JBG (c-g-c).
\(\Rightarrow\widehat{AGB}=\widehat{JGB}\) nên GB là tia phân giác góc AGE.
AE//CF \(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{AFG}\).
-△BFC cân tại B mà BG là đường cao nên BG cũng là trung tuyến.
\(\Rightarrow\)G là trung điểm CF.
-△ACF vuông tại A có: AG là trung tuyến.
\(\Rightarrow AG=FG=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow\)△AFG cân tại G.
\(\Rightarrow\widehat{AFG}=\widehat{FAG}\) mà \(\widehat{BAE}=\widehat{AFG}\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{FAG}\).
\(\widehat{EAC}=90^0-\widehat{BAE}=90^0-\widehat{FAG}=\widehat{GAC}\).
\(\Rightarrow\)AC là tia phân giác góc EAG.
-△AEG có: 2 đg phân giác AC và GB cắt nhau tại D.
\(\Rightarrow\)D là điểm cách đều 3 cạnh của △AEG (hay còn gọi là giao của 3 đg phân giác, tâm đường tròn nội tiếp tam giác).
d) -Cho mình xin sử dụng t/c của lớp 8, mình sẽ c/m sau (đường trung bình của tam giác).
\(BM+BN=BC\) mà \(BM+MF=BF=BC\Rightarrow MF=BN\).
-Gọi H là trung điểm BC. Qua M kẻ đường thẳng song song với IH cắt BC tại J.
-△NMJ có: IH//MJ, I là trung điểm MN.
\(\Rightarrow\)H là trung điểm NJ nên \(NH=HJ\).
\(CJ=CH-HJ=BH-NH=BN\)
\(\Rightarrow CJ=MF\Rightarrow BM=BJ\Rightarrow\)△MBJ cân tại B.
\(\Rightarrow\widehat{BMJ}=\dfrac{180^0-\widehat{MBJ}}{2}\) mà \(\widehat{BAE}=\dfrac{180^0-\widehat{MBJ}}{2}\)
\(\Rightarrow\widehat{BMJ}=\widehat{BAE}\Rightarrow\)MJ//AE.
-Ta dễ dàng thấy rằng điểm A,D,E cố định \(\Rightarrow\)AE, MJ cố định.
\(\Rightarrow\)Trung điểm I của MN luôn nằm trên 1 đg thẳng cố định (đg thẳng MJ).
cho tam giác abc vuộng tại a có bd là phân giác , kẻ de vuông góc với bc (e thuộc bc ) . gọi f là giao điểm của ab với de . chứng minh :
a, bd là đường trung trực của ae
b, df=dc
c, ad<dc
Cho tam giác abc vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE vuông góc với BC(E thuộc BC). Gọi F là giao điểm của AB và ĐE. Chứng minh rằng a) tam giác ABD = tam giác EBD b) BĐ là đường trung trực của AE c) BD vuông góc FC d) AE + FC < 2AC
a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có
BD chung
góc ABD=góc EBD
=>ΔBAD=ΔBED
b: BA=BE
DA=DE
=>BD là trung trực của AE
c: Xét ΔBFC có
FE,CA là đường cao
FE cắt CA tại D
=>D là trực tâm
=>BD vuông góc FC
Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng:
a) BD là đường trung trực của AE.
b) DF = DC.
c) AD < DC.
c) AE // FC.
a, Xét tam giác ABD vuông tại A và tam giác EBD vuông tại E ta có:
BD:cạnh chung; góc ABD= góc EBD(gt)
Do đó tam giác ABD=tam giác EBD(cạnh huyền - góc nhọn)
=> AB=EB; AD=ED(cặp cạnh tương ứng)
Vì AB=EB; AD=ED nên B là D nằm trên đường trung trực của AE
=> BD là đường trung trực của AE(đpcm)
b, Xét tam giác ADF và tam giác EDC ta có:
góc FAD=góc CED(=90độ);AD=ED(cmt); góc ADF=góc EDC(đối đỉnh)
Do đó tam giác ADF=tam giác EDC(g.c.g)
=> DF=DC(cặp cạnh tương ứng) (đpcm)
c, Xét tam giác DEC vuông tại E ta có:
DE<DC(do trong tam giác vuông cạnh huyền lớn nhất)
mà DE=DA=> DA<DC(đpcm)
d, Vì tam giác ADF=tam giác EDC(cm câu b)
=> AF=EC(cặp cạnh tương ứng)
Ta có: BF=BA+AF; BC=BE+EC
mà BA=BE;AF=EC(đã cm)
=> BF=BC
=> tam giác BCF cân tại B
mặc khác ta có: BA=BE(cm câu a)
=> tam giác ABE cân tại B
Xét tam giác BCF và tam giác ABE cân tại B ta có:
góc BAE=\(\dfrac{180^o-\text{góc}ABE}{2}\) ;góc BFC=\(\dfrac{180^o-\text{góc}FBC}{2}\)
=> góc BAE=góc BFC
=> AE//CF(do có 1 cặp góc bằng nhau ở vị trí đồng vị) (đpcm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE vuông góc vs BC (E thuộc BC). Gọi F là giao điểm của AB và DE. C/minh rằng:
a) BD là đường trung trực của AE
b) DF=DC
c)AD<DC
d) AE//FC
10 năm sau thì cha vẫn hơn con 24 tuổi
Ta có sơ đồ 10 năm sau :
Cha : |----|----|----|
Con : |----|
Tuổi con 10 năm sau là :
24: ( 3- 1 ) = 12 ( tuổi )
Tuổi con hiện nay là :
12 - 10 = 2 tuổi
Tuổi cha hiện nay là :
2 + 24 =26 ( tuổi )
Đáp số : .......
Sau 10 năm cha vẫn hơn con 24 tuổi.
=>Tuổi con 10 năm sau là: 24:(3-1)=12(tuổi)
Tuổi con hiện nay là: 12-10=2(tuổi)
Tuổi cha hiện nay là: 2+24=26(tuổi)
Đ/s:...
Bài này dễ như ăn cháo.
Cho tam giác ABC vuông tại A, p/g BD. kẻ DE vuông góc BC ( E thuộc BC )
C/M rằng:
a) tam giác ABD = tam giác EBD
b) BD là đường Trung trực AE
c) AD < DC
a)
Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta EBD\)có:
\(\widehat{ABD=\widehat{EBD}}\)( Vì BD là tia phân giác )
BD : cạnh chung
\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90\)
Từ 3 điều trên => \(\Delta ABD=\Delta EBD\)( cạnh huyền - góc nhọn)
b) Vì \(\Delta ABD=\Delta EBD\)( chứng minh ở câu a)
\(\Rightarrow AB=EB\)( Cặp cạnh tương ứng)
=> \(\Delta ABE\)Cân tại B
Xét tam giác ABE có :
BD là tia phân giác ( giả thiết)
=> BD cũng là đường trung trực ( vì trong 1 tam giác cân đường phân giác ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung trực)
c) Vì \(DE\perp BC\left(GT\right)\)
Xét \(\Delta DEC\)CÓ:
=> \(\widehat{CED}=90\)
=> DC là cạnh lớn nhất ( vì trong 1 tam giác vuông , cạnh đối diện với góc vuông là cạnh lớn nhất)
=> DC > ED (1)
Mà ED = AD ( vì \(\Delta ABD=\Delta EBD\)) (2)
Từ (1) và (2)
=> DC > AD
Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng:
a)BD là đường trung trực của AE
b)DF = DC
c)AD < DC
d)AE // FC
Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng:
a. Tam giác ABD = tam giác EBD b.BD là đường trung trực của AE
c. AD < DC d. E, D, F thẳng hàng và BD vuông góc với CF
e. 2(AD + AF)>CF
a, Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:
góc BAD=BED(tam giác abc vuông, DE vuông góc BC)
BD=BD(chung)
góc ABD=EBD (BD là phân giác)
=)tam giác ABD=tam giác EBD(cạnh huyền-góc nhọn)
vậy.....
b,gọi giao của AE và BD là O
ta có tam giác ABD=tam giác EBD
=)AB=BE ( 2 cạnh tưng ứng)
xét tam giác ABO và tam giác EBO có:
AB=BE (cmt)
góc ABO=EBO ( BD là phân giác)
BO=BO ( chung)
=)tam giác ABO=EBO (c-g-c)
=)AO=OE ( 2 cạnh tương ứng)(1)
AOB=EOB( 2 góc tương ứng)
mà AOB+EOB=180 độ ( 2 góc kề bù)
=)AOB=EOB=180:2=90độ
=)BO vuông góc AE (2)
từ(1) và (2)=)BO là trung trực AE
vậy....
c, Ta có tam giác DEC vuông tại E
=)DC>DE ( trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
mà DE=DA ( tam giác ABD= tam giác EBD)
=)DC>DA
hay DA<DC
vậy....
a: Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có
BD chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)
Do đó: ΔABD=ΔEBD
b: Ta có: ΔBAD=ΔBED
nên BA=BE và DA=DE
Ta có: BA=BE
nên B nằm trên đường trung trực của AE\(\left(1\right)\)
Ta có: DA=DE
nên D nằm trên đường trung trực của AE\(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra BD là đường trung trực của AE
c: Ta có: DA=DE
mà DE<DC
nên DA<DC
d: Xét ΔADF vuông tại A và ΔEDC vuông tại E có
DA=DE
\(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\)
Do đó: ΔADF=ΔEDC
Suy ra: AF=EC và DF=DC
Ta có: BA+AF=BF
BE+EC=BC
mà BA=BE
và AF=EC
nên BF=BC
Ta có: BF=BC
nên B nằm trên đường trung trực của CF\(\left(3\right)\)
Ta có: DF=DC
nên D nằm trên đường trung trực của CF\(\left(4\right)\)
Từ \(\left(3\right),\left(4\right)\) suy ra BD là đường trung trực của CF
hay BD\(\perp\)CF
Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác BD, kẻ DE vuông góc với BC tại E (E thuộc BC).
a) c/m Tam giác DEB đồng dạng với tam giác DAB
b) c/m DE là đường trung trực của đoạn AE