Cho (O) đường kính BC =2R. Gọi A là một điểm trên đường tròn này sao cho AB =R. Đường tròn (I) đường kính AC cắt BC tại D. a/ CM : Tứ giác ADOI nội tiếp. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABOI theo R. b/ Tứ giác ABOI là hình gì ? Tính diện tích tứ giác ABOI theo R. c/ Một đường thẳng bất kì qua B cắt đường tròn đường kính AC tại M,N.CMR : BM.BN = R2
cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính r có AC vuông góc BD . CMR: AB^2 + CD^2 = 4r^2
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O bán kính R, AC vuông góc BD. Chứng minh AB2+ CD2 không đổi
Gọi DE là đường kính của (O;R)
Dễ thấy \(\hept{\begin{cases}AC\perp BD\\BE\perp BD\end{cases}}\)\(\Rightarrow BE\text{//}AC\Rightarrow BECA\)là hình thang mà BECA nội tiếp (O;R) nên BECA là hình thang cân.
Do đó ta có : AB = CE \(\Rightarrow AB^2+CD^2=CE^2+CD^2=DE^2=\left(2R\right)^2=4R^2\) không đổi.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) (AB < CD). Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K; CP cắt AB tại F và cắt DA tại I.
a. Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp được và IK // AB.
b. Chứng minh: AP2 = PE .PD = PF . PC
c. Chứng minh: AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AED.
.
1. Cho đường tròn ( O) và đường thẳng xy nằm ngoài đường tròn. Từ O kẻ OA vuông góc với xy. Qua A vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) ở B và C. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt xy ở D và E. Chứng minh: A là trung điểm của DE
2. Cho tứ giác ABCD có AB = BD nội tiếp đường tròn (O) . Từ A vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt đường thẳng BC ở Q , gọi R là giao điểm của AB và CD. Chứng minh:
a) tứ giác AQRC nội tiếp được 1 đường tròn
b) QR//AD
Ta có: tỨ giác OCEA nội tiếp
=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OEA}\)(1)
Vì OC=OB
=> Tam giác OBC cân
=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OCB}=\widehat{OBC}\)(2)
Tứ giác ODAB nội tiếp
=> \(\widehat{ODA}=\widehat{OBC}\)( cùng bù với góc OBA) (3)
Từ (1), (2), (3)
=> \(\widehat{ODA}=\widehat{OEA}\)
=> Tam giác ODE cân có OA là đươngcao
=> OA là đường trung tuyến
=> A là trung điểm của DE
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD
(\(H\varepsilon AB;K\varepsilon AD\))
a) CM tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.
b) CMR IA.IC = IB.ID.
c) CMR tam giác HIK và BCD đồng dạng.
a/ Ta có
IH vuông góc AB => ^AHI = 90
IK vuông góc AD => ^AKI = 90
=> H và K cùng nhìn AI dưới hai góc bằng nhau => AHIK là tứ giác nội tiếp
b/ Xét tam giác ADI và tam giác BCI có
^AID=^BIC (góc đối đỉnh)
sđ ^DAC = sđ ^DBC = 1/2 sđ cung CD (góc nội tiếp) => ^DAC=^DBC
=> tg ADI đồng dạng tg BCI
=>\(\frac{IA}{IB}=\frac{ID}{IC}\)⇒IA.IC=IB.ID
c/
Xét tứ giác nội tiếp AHIK có
^HIK = 180 - ^DAB (hai góc đối của tứ giác nội tiếp bù nhau) (1)
^DAC = ^KHI (2 góc nội tiếp chắn cùng 1 cung) (2)
Xét tứ giác nội tiếp ABCD có
^BCD = 180 - ^DAB (hai góc đối của tứ giác nội tiếp bù nhau) (3)
^DAC = ^DBC (hai góc nội tiếp chắn cùng 1 cung) (4)
Xét hai tam giác HIK và tam giác BCD
Từ (1) và (3) => ^HIK = ^BCD
Từ (2) và (4) => ^KHI = ^DBC
=> tam giác HIK đồng dạng với tam giác BCD
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB>AC. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Đường cao AH của tam giác ABC cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là D. Kẻ DM vuông góc với AB tại M.
a) Chứng minh tứ giác BDHM nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh DA là tia phân giác của \(\widehat{MDC}\)
c) Gọi N là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng AC, chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
d) Chứng minh \(AB^2+AC^2+CD^2+BD^2=8R^2\)
a: góc BHD+góc BMD=180 độ
=>BHDM nội tiếp
b: BHDM nội tiếp
=>góc HDM+góc HBM=180 độ
=>góc ADM=góc ABC
=>góc ADM=góc ADC
=>DA là phân giáccủa góc MDC
c: Xét tứ giác DHNC có
góc DHC=góc DNC=90 độ
=>DHNC nội tiếp
=>góc NHD=góc NDC
góc NHD+góc MHD
=180 độ-góc NCD+góc MBD
=180 độ+180 độ-góc ABD-góc ACD
=180 độ
=>M,H,N thẳng hàng
Cho hình thang ABCD ( AB \(//\)AC ) nội tiếp \(( O;R )\), AB là đường kính. BC và BD kéo dài cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn tại điểm Q và M.
a. Chứng minh: \(AB^2=BC.BQ\)
b. Tứ giác CDMQ nội tiếp
c. Gọi I là trung điểm của AM. Chứng minh: ID là tiếp tuyến của \((O)\)
d. Cho A và D cố định, B và C chạy trên \(cung AD\) lớn sao cho thỏa mãn: \(AB // CD\).
Gọi E là giao điểm của 2 đường chéo của hình thang ABCD. Hỏi E chạy trên đường nào?
a: góc ACB=góc ADB=1/2*180=90 độ
=>AC vuông góc BQ và AD vuông góc BM
ΔQAB vuông tại A có AC là đường cao
nên BA^2=BC*BQ
b: ΔAMB vuông tại A có AD là đường cao
nên BD*BM=BA^2=BC*BQ
=>BD/BQ=BC/BM
=>ΔBDC đồng dạng với ΔBQM
=>góc BDC=góc BQM
=>góc CDM+góc CQM=180 độ
=>CDMQ nội tiếp
c: Xét ΔIDO và ΔIAO có
ID=IA
DO=AO
IO chung
=>ΔIDO=ΔIAO
=>góc IDO=góc IAO=90 độ
=>ID là tiếp tuyến của (O)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB=BD.Ttừ A kẻ tiếp tuyết cắt BC tại Q,gọi R là giao điểm của AB và CD.Chứng minh rằng
a.RA.RB=RC.RD
b.AQRC là tứ giác nội tiếp
c.RQ//AD
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD= 4cm. Cho AB=BC=1cm. Khi đó CD bằng?
