Đặt \(a=2x^2+x-2014\) , \(b=x^2-5x-2013\)

thì \(a^2+4b^2=4ab\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2=0\)

Thay vào được \(\left[\left(2x^2+x-2014\right)-2\left(x^2-5x-2013\right)\right]^2=0\)

\(\Leftrightarrow11x+2012=0\Leftrightarrow x=-\frac{2012}{11}\)

a) ĐKXĐ: \(x\ne-1\)

Phương trình tương đương: \(\dfrac{5x-x^2}{x+1}\left(x+\dfrac{5-x}{x+1}\right)=6\)

Đặt \(x+\dfrac{5-x}{x+1}=t\) \(\Rightarrow t=\dfrac{5-x+x^2+x}{x+1}=\dfrac{x^2+5}{x+1}\)

\(\Rightarrow-t=\dfrac{-x^2-5}{x+1}=\dfrac{5x-x^2-5x-5}{x+1}=\dfrac{5x-x^2-5\left(x+1\right)}{x+1}\)

\(=\dfrac{5x-x^2}{x+1}-5\)

\(\Rightarrow-t=\dfrac{5x-x^2}{x+1}-5\Rightarrow5-t=\dfrac{5x-x^2}{x+1}\)

Vậy Phương trình trở thành: \(\left(5-t\right)t=6\Leftrightarrow t^2-5t+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0\)

Khi t=2 thì \(x+\dfrac{5-x}{x+1}=2\Leftrightarrow x^2-2x+3=0\) (vô nghiệm)

Khi t=3 thì \(x+\dfrac{5-x}{x+1}=3\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)\(\)

a) \(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}+\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=1\)
\(\Leftrightarrow\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7=1\)
Dễ dàng thấy \(x=2013\) hoặc \(x=2014\) là các nghiệm của phương trình.
Nếu \(x>2014\) khi đó \(\left|x-2013\right|^5>\left|2014-2013\right|^5>1\) nên:
\(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7>1\) .
Vì vậy mọi \(x>2014\) đều không là nghiệm của phương trình.
Nếu \(x< 2013\) khi đó \(\left|x-2014\right|^7>\left|2013-2014\right|^7>1\) nên:
\(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7>1\).
Vì vậy mọi \(x< 2013\) đều không là nghiệm của phương trình.
Nếu \(2013< x< 2014\) khi đó:
\(\left|x-2013\right|< 1,\left|x-2014\right|< 1\).
Suy ra \(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7< \left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|\).
Ta xét tập giá trị của \(\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|\) với \(2013< x< 2014\).
Khi đó \(x-2013>0,x-2014< 0\).
Vì vậy \(\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|=x-2013+x-2014=1\).
Suy ra \(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7< 1\).
vậy mọi x mà \(2013< x< 2014\) đều không là nghiệm của phương trình.
Kết luận phương trình có hai nghiệm là \(x=2013,x=2014\).

Ta có: \(\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\)

\(\Leftrightarrow-2013\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\)

\(\Leftrightarrow-y-\sqrt{y^2+2013}=x-\sqrt{x^2+2013}\)

⇔\(x+y=\sqrt{x^2+2013}-\sqrt{y^2+2013}\)(1)

Nhân liên hợp tương tự nhân \(y-\sqrt{y^2+2013}\)vào hai về rút được

\(x+y=\sqrt{y^2+2013}-\sqrt{x^2+2013}\)(2)

Cộng vế theo vế (1)(2) ta được \(x+y=0\Rightarrow x=-y\)

Thay vào \(A=\left(-y\right)^{2014}-y^{2014}+1=1\)

Lời giải:

Ta có:

\(|x-2013|^5+|x-2014|^7=1\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} |x-2013|^5=1-|x-2014|^7\leq 1\\ |x-2014|^7=1-|x-2013|^5\leq 1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} |x-2013|\leq 1\\ |x-2014|\leq 1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -1\leq x-2013\leq 1\\ -1\leq x-2014\leq 1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2012\leq x\leq 2014\\ 2013\leq x\leq 2015\end{matrix}\right.\) hay \(2013\leq x\leq 2014\)

Nếu \(x=2013, x=2014\): thử vào pt ban đầu thấy đều thỏa mãn.

Nếu \(2013< x< 2014\)

\(\Rightarrow |x-2013|=x-2013; |x-2014=2014-x\)

Đặt \(x-2013=a\).

PT trở thành

\((x-2013)^5+(2014-x)^7=1\)

\(\Leftrightarrow a^5+(1-a)^7=1\)

\(\Leftrightarrow (a^5-1)+(1-a)^7=0\)

\(\Leftrightarrow (a-1)[a^4+a^3+a^2+a+1-(a-1)^6]=0\)

Vì \(2013< x< 2014\Rightarrow 0< a< 1\).

\(\Rightarrow a-1< 0\) hay \(a-1\neq 0\)

Suy ra \(a^4+a^3+a^2+a+1-(a-1)^6=0\)

\(\Leftrightarrow a^4+a^3+a^2+a+1=(a-1)^6(*)\)

Ta thấy \(0< a<1 \Rightarrow \text{VT}>1\)

\(0< a< 1\Rightarrow -1< a-1< 0\Rightarrow (a-1)^6< 1\Leftrightarrow \text{VP}<1\)

(*) không xảy ra.

Vậy PT có nghiệm \(x\in \left\{2013; 2014\right\}\)

Đặt \(\dfrac{1}{5}+\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}=B;\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}+\dfrac{1}{10}=C\)

\(A=\left(B+1\right)\cdot C-B\cdot\left(C+1\right)\)

\(=BC+C-BC-B\)

=C-B

\(=\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}+\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2013}{2014}-\dfrac{2015}{2016}=-\dfrac{1}{10}\)

tất nhên là bằng 00000000000000000000000000000000000000

Quy đồng vế trái ta có

\(\frac{4026}{x^4+x^2+1}=\frac{2014}{x.\left(x^4+x^2+1\right)}\)

Lại quy đồng 2 vế ta được

\(\frac{4026.x}{x.\left(x^4+x^2+1\right)}=\frac{2014}{x.\left(x^4+x^2+1\right)}\)

Suy ra: 4026.x =2014

<=>\(x=\frac{2014}{4026}\)

rút gọn là xong.OK?