Ta có: \(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{5}{4}}\left(a+b\right)\)

Cmtt ta có: \(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\sqrt{\dfrac{5}{4}}\left(b+c\right)\)

\(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\sqrt{\dfrac{5}{4}}\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = \(\dfrac{1}{9}\)

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự:

\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)

Cộng vế với vế:

\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)

ta có \(4\left(a^2+a+2b^2\right)=5\left(a^2+2ab+b^2\right)+3\left(a^2-2ab+b^2\right)\)\(=5\left(a+b\right)^2+3\left(a-b\right)^2\ge5\left(a+b\right)^2\)(vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\))

vì a,b dương nên \(2\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\sqrt{5}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\left(1\right)\)

dấu "=" xảy ra khi a=b

chứng minh tương tự để có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{5}{4}\left(b+c\right)\Leftrightarrow b=c\left(2\right)\\\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+c\right)\Leftrightarrow a=c\left(3\right)\end{cases}}\)

cộng các bất đẳng thức (1) (2) và (3) theo vế ta được

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ac+2a^2}\ge\frac{5}{4}\cdot2\left(a+b+c\right)=2019\sqrt{5}\)

dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=2019\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=673}\)

* Ta có:

\(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)

* Tương tự ta có: 

\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\); \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)

\(=\sqrt{5}\left(a+b+c\right)=2019\sqrt{5}\)

(Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 673)

Vậy \(P_{min}=2019\sqrt{5}\Leftrightarrow a=b=c=673\)

Đề hình như bạn đánh nhầm rồi chỗ cuối á là phải là:

\(+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)

a/ Nếu (a + b) < 0 thì bất  đẳng thức đúng

Với (a + b) \(\ge0\)thì ta có

\(2a^2+ab+2b^2\ge\frac{5}{4}\left(a^2+2ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

b/ Áp dụng BĐT BCS : 

\(1=\left(1.\sqrt{a}+1.\sqrt{b}+1.\sqrt{c}\right)^2\le3\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\ge\frac{1}{3}\)

Áp dụng câu a/ :

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)

\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\)

\(\sqrt{2c^2+ac+2a^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{2}.2\left(a+b+c\right)\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{9}\)

Vậy min P = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) khi a=b=c=1/9

Chú ý: \(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\) là ok liền:D

Mấy bạn ơi , cho tớ hỏi:

Luật tính điểm hỏi đáp là gì?
Làm thế nào để câu trả lời của mình đứng đầu tiên trong các câu trả lời?

Ai trả lời nhanh mình tích cho.
 

Các bạn chuyển \(1c^2\) thành \(2c^2\) cho mk nha

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM dạng $x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$ ta có:

\(2a^2+ab+2b^2=\frac{4a^2+2ab+4b^2}{2}=\frac{(a+b)^2+3(a^2+b^2)}{2}\geq \frac{(a+b)^2+\frac{3}{2}(a+b)^2}{2}=\frac{5}{4}(a+b)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{2a^2+ab+2b^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(a+b)\)

Hoàn toàn tương tự:

\( \sqrt{2b^2+bc+2c^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(b+c); \sqrt{2c^2+ac+2a^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(a+c)\)

Cộng theo vế:

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\geq \sqrt{5}(a+b+c)=\sqrt{5}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{\sqrt{5}\left(a+b\right)}{2}\)

Tương tự:\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{\sqrt{5}\left(b+c\right)}{2}\);\(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\frac{\sqrt{5}\left(c+a\right)}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:\(VT\ge\frac{\sqrt{5}\left(2a+2b+2c\right)}{2}=\sqrt{5}\left(a+b+c\right)=\sqrt{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)