Xét ΔBAD có BI là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\)

=>\(\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\left(5\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{6}\left(5\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{5}{6}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\)

\(=\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\)

=>\(\overrightarrow{BI}=\dfrac{5}{6}\cdot\overrightarrow{BM}\)

=>B,I,M thẳng hàng

Cách 1: Dùng định lý Menelaus đảo:

Từ đề bài, ta có \(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{3}{2}\), \(\dfrac{IA}{ID}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}.\dfrac{MC}{MA}.\dfrac{IA}{ID}=1\)

Theo định lý Menelaus đảo, suy ra B, I, M thẳng hàng.

Cách 2: Dùng vector

 Ta có \(\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) 

\(=\dfrac{1}{6}\left(3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}\right)\)

Lại có \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{MC}{AC}\overrightarrow{BA}+\dfrac{MA}{AC}\overrightarrow{BC}\)

\(=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\)

\(=\dfrac{1}{5}\left(3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{6}\left(3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\dfrac{6}{5}\overrightarrow{BI}\)

Vậy \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{6}{5}\overrightarrow{BI}\), suy ra B, I, M thẳng hàng. 

Ta có  CN = 3NA hay CA = 4NA

S_AND = 1/4S_ADC  (2 tam giác này có CA=4NA, chung đường cao kẻ từ D).

=> S_ADC = 10 x 4 = 40 (cm²)

Ta lại có  S_AMC = 1/2S_AMB (BM=2MC, chung đường cao kẻ từ A). Mà 2 tam giác này có AM chung nên đường cao kẻ từ B gấp 2 lần đường cao kẻ từ C xuống AM.

Hai đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác ADB và ADC

S_ADC = 1/2S_ADB  => S_ADB = 40 x 2 = 80 (cm²)

S_ANB = S_AND + S_ADB = 10 + 80 = 90 (cm²)

Mà S_ANB = 1/4S_ABC (2 tam giác này có CA=4NA, chung đường cao kẻ từ A).

Vậy S_ABC = 90 x 4 = 360 (cm²)

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\)

THAM KHẢO

#)Giải :

Ta có : CN = 3NA hay CA = 4NA

=> S_AND = 1/4S_ADC  (CA = 4NA, chung đường cao kẻ từ D)

=> S_ADC = 10 x 40 = 40 (cm²)

Lại có S_AMC = 1/2S_AMB (BM = 2MC, chung đường cao kẻ từ A), vì cả hai tam giác cùng có AM chung nên đường cao kẻ từ B gấp 2 lần đường cao kẻ từ C xuống AM

Và hai đường cao này là hai đường cao của hai tam giác ADB và ADC

=> S_ADC = 1/2S_ADB => S_ADB = 40 x 2 = 80 (cm²)

=> S_ANB = S_AND + S_ADB = 10 + 80 = 90 (cm²) 

Mà S_ANB = 1/4S_ABC (CA = 4NA, chung đường cao kẻ từ A)

=> S_ABC = 90 x 4 = 360 (cm²)

                      Giải:

Ta có :  CN = 3NA hay CA = 4NA

SAND = 1/4SADC  (2 tam giác này có CA=4NA, chung đường cao kẻ từ D).

=> SADC = 10 x 4 = 40 (cm2)

Ta lại có  SAMC = 1/2SAMB (BM=2MC, chung đường cao kẻ từ A). Mà 2 tam giác này có AM chung nên đường cao kẻ từ B gấp 2 lần đường cao kẻ từ C xuống AM.

Hai đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác ADB và ADC.

SADC = 1/2SADB  => SADB = 40 x 2 = 80 (cm2)

SANB = SAND + SADB = 10 + 80 = 90 (cm2)

Mà SANB = 1/4SABC (2 tam giác này có CA=4NA, chung đường cao kẻ từ A).

Vậy SABC = 90 x 4 = 360 (cm2)