b: \(BH=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

a: Đề sai rồi bạn

a.=> BC = BH + CH = 1 + 3 = 4 cm

áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông AHB

\(AB^2=HB^2+AH^2\)

\(AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}cm\)

áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông AHC

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

\(AC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}cm\)

a) Đường cao BH = CK = a

BC = a/sinα

Kẻ đg cao AD ⇒ BD = DC = a/2sinα

⇒ AD = BD.tanα = sinα/cosα . a/2sinα = a/2cosα

    AB = AC = AD/sinα = a/2sinαcosα = a/sin2α

b) Dễ dàng có đc S = pr

⇒ r = S/p = AD.BC/2AB+BC = a/2+2cosα

S = AB.BC.CA/4R

⇒ R = AB.BC.CA/4S = a/2sin22α.cosα

△AKC∼△AHB (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{CK}{BH}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow\dfrac{CK}{BH}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AC-CK}{AB-BH}=1\)

\(\Rightarrow AB=AC\Rightarrow\)△ABC cân tại A.

\(AB\ge BH\Rightarrow AB+CK\ge BH+CK\Rightarrow AC+BH\ge BH+CK\Rightarrow AC\ge CK\)-Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(A\equiv H\Leftrightarrow\)△ABC vuông tại A.

a, Theo định lí Pytago tam giác ABH vuông tại H

\(AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{5}cm\)

Theo định lí Pytago tam giác AHC vuông tại H

\(AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)cm 

-> BC = HB + HC = 4 cm 

b, Ta có tam giacs ABC đều mà BH là đường cao hay BH đồng thời là đường trung tuyến 

=> AH = AC/2 = 5/2 

Theo định lí Pytago tam giác ABH vuông tại H

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}cm\)

Ta có : BH + CH = 64 + 81 = 145 (cm) 

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao , ta có :

+) \(AB^2=BH.CH\)

\(\Leftrightarrow AB^2=64.145=9280\)

\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{9280}=8\sqrt{145}\left(cm\right)\)

+) \(AC^2=BC.CH\)

\(\Leftrightarrow AC^2=81.145=11745\)

\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{11745}=9\sqrt{145}\left(cm\right)\)

Ta có : 

\(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{9\sqrt{145}}{145}=\frac{9}{\sqrt{145}}\)

\(\Rightarrow\widehat{B}=48^o22'\)( cái này bấm máy ra nha )

Xét tam giác ABC có :

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{C}=180^o-90^o-48^o22'=41^o38'\)

Vậy .......

Ta có : BC = BH + CH = 64 + 81 = 145 (cm)

=> \(AB^2=HB.BC=64.145\Rightarrow AB=\sqrt{64.145}=8\sqrt{145}\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{HC.BC}=\sqrt{81.145}=9\sqrt{145}\) (cm)

\(AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{64.81}=72\left(cm\right)\)

Ta có \(sinB=\frac{AH}{AB}=\frac{72}{8\sqrt{145}}\Rightarrow\widehat{B}\approx48^o21'59.26''\)

\(sinC=\frac{AH}{AC}=\frac{72}{9\sqrt{145}}\Rightarrow\widehat{C}\approx41^o38'0.74''\)

Lời giải:
$BC=BH+HC=61+84=145$ (cm) 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: 

$AH^2=BH.CH=61.84=5124$ 

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $ABH, ACH$:

$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{5124+61^2}\approx 94$ (cm) 

$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{5124+84^2}\approx 110,4$ (cm)

$\cos B =\frac{AB}{BC}=\frac{94}{145}\Rightarrow \widehat{B}\approx 50^0$

$\widehat{C}=90^0-\widehat{B}\approx 90^0-50^0=40^0$

Hình vẽ: