Bài này bạn chỉ cần chuyển vế biến đổi thôi là được , mình làm mẫu câu 2) :

\(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2n+b^2m}{mn}-\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(a^2n+b^2m\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right).mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2mn+\left(bm\right)^2+\left(an\right)^2+b^2mn-a^2mn-2abmn-b^2mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(bm-an\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow bm=an\)

Câu 3) áp dụng câu 2) để chứng minh dễ dàng hơn, ghép cặp 2 .

2 )\(\frac{1}{1+x}\ge\left(1-\frac{1}{1+y}\right)+\left(1-\frac{1}{1+z}\right)=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)

CMTT \(\frac{1}{1+y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}};\frac{1}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)

Nhân vế với vế 3 bđt được

\(\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{8xyz}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

\(\Rightarrow P=xyz\le\frac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi z=y=z = 1/2

1)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{8b}>\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\sqrt{b}}>\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b>0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>0\) (có a>b>0 theo gt) (đpcm)

bài 1 a, hình như có thêm đk là a+b+c=3

Bài 4 nha

Áp dụng BĐT cô si ta có

\(\frac{1}{x^2}+x+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}.x.x}=3.\)

Tương tự với y . \(A\ge6\)dấu = xảy ra khi x=y=1

câu 1 mk bị lộn nhưng đáng ra  ca^2 thành c^2a  mới đúng

Xét hiệu :

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\)

\(=\frac{a^2-ab-ab+b^2}{ab}=\frac{a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)}{ab}\)\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-b\right)}{ab}\)\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)

Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\) và \(ab>0\)( do a, b > 0 )

\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}>0\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\)

Hay \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)\(\left(đpcm\right)\)

Ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\left(đpcm\right)\)

1. Đề thiếu

2. BĐT cần chứng minh tương đương:

\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)

3.

Ta có:

\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)

\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Lại có:

\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

4.

Ta có:

\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

5.

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)

Câu 1:

\(VT=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)

\(VT=1-\dfrac{1}{n}< 1\) (đpcm)