Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Angela jolie

1) Chứng minh BĐT: \(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}< \frac{\left(a-b\right)^2}{8b}\) với a>b>0.

2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge2.\) Tìm GTLN càu P=xyz.

Lê Anh Duy
2 tháng 2 2020 lúc 12:52

2 )\(\frac{1}{1+x}\ge\left(1-\frac{1}{1+y}\right)+\left(1-\frac{1}{1+z}\right)=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)

CMTT \(\frac{1}{1+y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}};\frac{1}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)

Nhân vế với vế 3 bđt được

\(\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{8xyz}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

\(\Rightarrow P=xyz\le\frac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi z=y=z = 1/2

Khách vãng lai đã xóa
Lê Anh Duy
2 tháng 2 2020 lúc 12:55

1)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{8b}>\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\sqrt{b}}>\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b>0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>0\) (có a>b>0 theo gt) (đpcm)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Lê Thanh Hân
Xem chi tiết
nguyễn minh
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
le duc minh vuong
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Trần Thanh Phương
Xem chi tiết
Kiều Ngọc Tú Anh
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Ánh Dương
Xem chi tiết