a: Xét ΔHNM vuông tại H và ΔMNP vuông tại M có

góc N chung

=>ΔHNM đồng dạng với ΔMNP

b: ΔMNP vuông tại M co MH vuông góc NP

nên MH^2=HN*HP

 a)xét \(\Delta HMN\) và \(\Delta MNP \) 

\(\widehat{A}=\widehat{H}=90^o\left(gt\right)\)

\(\widehat{M}\) ( góc Chung)\)

\(\Rightarrow\Delta HMN\sim\Delta MNP\left(g-g\right)\)

 \(\)

b) Theo ddịnh lí Py-ta-go, ta có:

\(NP^2=MN^2+MP^2\\ \Leftrightarrow NP^2=3^2+4^2\\ \Leftrightarrow NP^2=25\\ \Rightarrow NP=5\left(cm\right)\)

\(\dfrac{HM}{MN}=\dfrac{MP}{NP}\\ \Leftrightarrow\dfrac{HM}{3}=\dfrac{4}{5}\\ \Rightarrow HM=\dfrac{3\cdot4}{5}=2.4\left(cm\right)\)

) Theo ddịnh lí Py-ta-go, ta có:

\(MN^2=MH^2+NH^2\Rightarrow NH^2=MN^2-MH^2\\ NH^2=3^2-2.4^2=3.24\left(cm\right)\)

a: NP=NH+HP

=1+4

=5(cm)

Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao

nên \(MH^2=HN\cdot HP\)

=>\(MH^2=1\cdot4=4\)

=>MH=2(cm)

ΔMHP vuông tại H

=>\(HM^2+HP^2=MP^2\)

=>\(MP^2=2^2+4^2=20\)

=>\(MP=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)

b:

ΔMNP vuông tại M

=>\(MN^2+MP^2=NP^2\)

=>\(MN^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2=5^2\)

=>\(MN^2=25-20=5\)

=>\(MN=\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Xét ΔMNP vuông tại M có \(cosN=\dfrac{MN}{NP}\)

=>\(cosN=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)

Xét ΔMNP vuông tại M có \(tanP=\dfrac{MN}{MP}\)

=>\(tanP=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}\)

c: Xét ΔMNA vuông tại M có MK là đường cao

nên \(NK\cdot NA=NM^2\left(1\right)\)

Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao

nên \(NH\cdot NP=NM^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(NK\cdot NA=NH\cdot NP\)

=>\(\dfrac{NK}{NH}=\dfrac{NP}{NA}\)

Xét ΔNKP và ΔNHA có

\(\dfrac{NK}{NH}=\dfrac{NP}{NA}\)

\(\widehat{KNP}\) chung

Do đó: ΔNKP đồng dạng với ΔNHA

a: Xét ΔMNP vuông tại M và ΔHNM vuông tại H có 

góc N chung

DO đó: ΔMNP∼ΔHNM

Suy ra: NM/NH=NP/NM

hay \(NM^2=NH\cdot NP\)

b: NP=13cm

\(NH=\dfrac{MN^2}{NP}=\dfrac{25}{13}\left(cm\right)\)