1: AB/AC=5/7

=>HB/HC=(AB/AC)^2=25/49

=>HB/25=HC/49=k

=>HB=25k; HC=49k

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH^2=HB*HC

=>1225k^2=15^2=225

=>k^2=9/49

=>k=3/7

=>HB=75/7cm; HC=21(cm)

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

góc B chung

=>ΔHBA đồng dạng với ΔABC

b: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có

góc HBA=góc HAC

=>ΔHBA đồng dạng với ΔHAC

=>HB/HA=HA/HC

=>HA^2=HB*HC

a: BC=BH+CH

=3+9

=12(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH^2=3\cdot9=27\)

=>\(AH=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{3\cdot12}=6\left(cm\right)\\AC=\sqrt{9\cdot12}=6\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: \(tan^2C+cot^2C\)

\(=\left(\dfrac{AC}{AB}\right)^2+\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)

\(=\dfrac{AC^2}{AB^2}+\dfrac{AB^2}{AC^2}\)

\(=\dfrac{HC\cdot BC}{HB\cdot BC}+\dfrac{HB\cdot BC}{HC\cdot CB}\)

\(=\dfrac{HC}{HB}+\dfrac{HB}{HC}\)

ta có

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

Ta có AH²=CH.BH=ab (1)

Gọi M là trung điểm của BC.

Xét tam giác AHM vuông tại H có AM là cạnh huyền --> AH\(\le\)AM (2)

Mà \(AM=\frac{BC}{2}=\frac{a+b}{2}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow a.b\le\frac{a+b}{2}\)

Ở trên nhầm: AH²=ab\(\Rightarrow AH=\sqrt{ab}\)

Kết hợp (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\)

Lời giải:

a. Vì $AH:AC=3:5$ nên đặt $AH=3a; AC=5a$ với $a>0$

Ta có: $AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC}{BC}$

$AH^2=\frac{AB^2AC^2}{BC^2}=\frac{AB^2.AC^2}{AB^2+AC^2}$

$(3a)^2=\frac{15^2.(5a)^2}{15^2+(5a)^2}$

$\Leftrightarrow 9a^2=\frac{225a^2}{a^2+9}$

$\Leftrightarrow 9=\frac{225}{a^2+9}$

$\Leftrightarrow 9(a^2+9)=225$

$\Rightarrow a=4$ (cm)

$AH=3a=12$ (cm); $AC=5a=20$ (cm)
Áp dụng định lý Pitago:

$HC=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$ (cm)

$HB=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$ (cm)

b.

Vì $AEHF$ có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^0$ nên đây là hình chữ nhật

$\Rightarrow EF=AH$

Do đó: $EF.BC=AH.BC=2S_{ABC}=AB.AC$ (đpcm)

Hình vẽ: